Aleta (superficie extendida)

Ver también: Fin

Algunos elementos con aletas

En el estudio de la transferencia de calor , las aletas son superficies que se extienden desde un objeto para aumentar la tasa de transferencia de calor hacia o desde el medio ambiente al aumentar la convección . La cantidad de conducción , convección o radiación de un objeto determina la cantidad de calor que transfiere. Aumentar el gradiente de temperatura entre el objeto y el medio ambiente , aumentar el coeficiente de transferencia de calor por convección o aumentar el área de la superficie del objeto aumenta la transferencia de calor. A veces no es factible o económicopara cambiar las dos primeras opciones. Por lo tanto, agregar una aleta a un objeto aumenta el área de la superficie y, a veces, puede ser una solución económica a los problemas de transferencia de calor.

Los disipadores de calor con aletas de una pieza se producen mediante extrusión , fundición , biselado o fresado .

Caso general

Para crear una ecuación manejable para la transferencia de calor de una aleta, se deben hacer muchas suposiciones:

1. Estado estable
2. Propiedades constantes del material (independientemente de la temperatura)
3. Sin generación de calor interno
4. Conducción unidimensional
5. Área de sección transversal uniforme
6. Convección uniforme en toda la superficie.

Con estos supuestos, la conservación de energía se puede utilizar para crear un balance de energía para una sección transversal diferencial de la aleta: ^[1]

${\displaystyle {\dot {Q}}(x+dx)={\dot {Q}}(x)+d{\dot {Q}}_{conv}.}$

La ley de Fourier establece que

${\displaystyle {\dot {Q}}(x)=-kA_{c}\left({\frac {dT}{dx}}\right),}$

donde es el área de la sección transversal del elemento diferencial. Además, el flujo de calor por convección se puede determinar mediante la definición del coeficiente de transferencia de calor h,${\displaystyle A_{c}}$

${\displaystyle q''=h\left(T-T_{\infty }\right),}$

donde esta la temperatura de los alrededores. El flujo de calor convectivo diferencial se puede determinar entonces a partir del perímetro de la sección transversal de la aleta P,${\displaystyle T_{\infty }}$

${\displaystyle d{\dot {Q}}_{conv}=Ph\left(T-T_{\infty }\right)dx.}$

La ecuación de conservación de energía ahora se puede expresar en términos de temperatura,

${\displaystyle -kA_{c}\left.\left({\frac {dT}{dx}}\right)\right\vert _{x+dx}=-kA_{c}\left.\left({\frac {dT}{dx}}\right)\right\vert _{x}+Ph\left(T-T_{\infty }\right)dx.}$

Reordenando esta ecuación y usando la definición de la derivada se obtiene la siguiente ecuación diferencial para la temperatura,

${\displaystyle k{\frac {d}{dx}}\left(A_{c}{\frac {dT}{dx}}\right)-Ph\left(T-T_{\infty }\right)=0}$;

la derivada de la izquierda se puede expandir a la forma más general de la ecuación de fin,

${\displaystyle kA_{c}{\frac {d^{2}T}{dx^{2}}}+k{\frac {dA_{c}}{dx}}{\frac {dT}{dx}}-Ph\left(T-T_{\infty }\right)=0.}$

El área de la sección transversal, el perímetro y la temperatura pueden ser funciones de x.

Área de sección transversal uniforme

Si la aleta tiene una sección transversal constante a lo largo de su longitud, el área y el perímetro son constantes y la ecuación diferencial para la temperatura se simplifica enormemente a

${\displaystyle {\frac {d^{2}T}{dx^{2}}}={\frac {hP}{kA_{c}}}\left(T-T_{\infty }\right).}$

donde y . Las constantes y ahora se pueden encontrar aplicando las condiciones de contorno adecuadas.${\displaystyle m^{2}={\frac {hP}{kA_{c}}}}$${\displaystyle \theta (x)=T(x)-T_{\infty }}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$

Soluciones

La base de la aleta se fija típicamente a una temperatura de referencia constante, . Sin embargo, hay cuatro condiciones de punta de aleta comúnmente posibles ( ): la punta puede exponerse a transferencia de calor por convección, aislarse, mantenerse a una temperatura constante o tan lejos de la base como para alcanzar la temperatura ambiente.${\displaystyle \theta _{b}(x=0)=T_{b}-T_{\infty }}$${\displaystyle x=L}$

Para el primer caso, la segunda condición de contorno es que haya convección libre en la punta. Por lo tanto,

${\displaystyle hA_{c}\left(T(L)-T_{\infty }\right)=-kA_{c}\left.\left({\frac {dT}{dx}}\right)\right\vert _{x=L},}$

que simplifica a

${\displaystyle h\theta (L)=-k\left.{\frac {d\theta }{dx}}\right\vert _{x=L}.}$

Las dos condiciones de contorno ahora se pueden combinar para producir

${\displaystyle h\left(C_{1}e^{mL}+C_{2}e^{-mL}\right)=km\left(C_{2}e^{-mL}-C_{1}e^{mL}\right).}$

Esta ecuación se puede resolver para las constantes y encontrar la distribución de temperatura, que se encuentra en la siguiente tabla.${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$

Se puede utilizar un enfoque similar para encontrar las constantes de integración para los casos restantes. Para el segundo caso, se supone que la punta está aislada, o en otras palabras, que tiene un flujo de calor de cero. Por lo tanto,

${\displaystyle \left.{\frac {d\theta }{dx}}\right\vert _{x=L}=0.}$

Para el tercer caso, la temperatura en la punta se mantiene constante. Por tanto, la condición de contorno es:

${\displaystyle \theta (L)=\theta _{L}}$

Para el cuarto y último caso, se supone que la aleta es infinitamente larga. Por tanto, la condición de contorno es:

${\displaystyle \lim _{L\rightarrow \infty }\theta _{L}=0\,}$

Finalmente, podemos usar la distribución de temperatura y la ley de Fourier en la base de la aleta para determinar la tasa general de transferencia de calor,

${\displaystyle {\dot {Q}}_{\text{total}}={\sqrt {hPkA_{c}}}(C_{2}-C_{1}).}$

Los resultados del proceso de solución se resumen en la siguiente tabla.

Distribución de temperatura y tasa de transferencia de calor para aletas de área de sección transversal uniforme

Caso	Estado de la punta (x = L)	Distribución de temperatura	Tasa de transferencia de calor de la aleta
A	Transferencia de calor por convección	${\displaystyle {\frac {\theta }{\theta _{b}}}={\frac {\cosh {m(L-x)}+\left({\frac {h}{mk}}\right)\sinh {m(L-x)}}{\cosh {mL}+\left({\frac {h}{mk}}\right)\sinh {mL}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {hPkA_{c}}}\theta _{b}{\frac {\sinh {mL}+{\frac {h}{mk}}\cosh {mL}}{\cosh {mL}+{\frac {h}{mk}}\sinh {mL}}}}$
B	Adiabático	${\displaystyle {\frac {\theta }{\theta _{b}}}={\frac {\cosh {m(L-x)}}{\cosh {mL}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {hPkA_{c}}}\theta _{b}\tanh {mL}}$
C	Temperatura constante	${\displaystyle {\frac {\theta }{\theta _{b}}}={\frac {{\frac {\theta _{L}}{\theta _{b}}}\sinh {mx}+\sinh {m(L-x)}}{\sinh {mL}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {hPkA_{c}}}\theta _{b}{\frac {\cosh {mL}-{\frac {\theta _{L}}{\theta _{b}}}}{\sinh {mL}}}}$
D	Longitud infinita de la aleta	${\displaystyle {\frac {\theta }{\theta _{b}}}=e^{-mx}}$	${\displaystyle {\sqrt {hPkA_{c}}}\theta _{b}}$

Rendimiento

El rendimiento de las aletas se puede describir de tres formas diferentes. La primera es la eficacia de las aletas. Es la relación entre la tasa de transferencia de calor de la aleta ( ) y la tasa de transferencia de calor del objeto si no tuviera aleta. La fórmula para esto es:${\displaystyle {\dot {Q}}_{f}}$

${\displaystyle \epsilon _{f}={\frac {{\dot {Q}}_{f}}{hA_{c,b}\theta _{b}}},}$

donde es el área de la sección transversal de la aleta en la base. El rendimiento de las aletas también se puede caracterizar por la eficiencia de las aletas. Esta es la relación entre la tasa de transferencia de calor de la aleta y la tasa de transferencia de calor de la aleta si toda la aleta estuviera a la temperatura base,${\displaystyle A_{c,b}}$

${\displaystyle \eta _{f}={\frac {{\dot {Q}}_{f}}{hA_{f}\theta _{b}}}.}$

${\displaystyle A_{f}}$en esta ecuación es igual al área de la superficie de la aleta. La eficiencia de la aleta siempre será menor que uno, ya que asumir que la temperatura en toda la aleta está en la temperatura base aumentaría la tasa de transferencia de calor.

La tercera forma en que se puede describir el rendimiento de la aleta es con la eficiencia general de la superficie,

${\displaystyle \eta _{o}={\frac {{\dot {Q}}_{t}}{hA_{t}\theta _{b}}},}$

donde es el área total y es la suma de la transferencia de calor del área de la base sin aletas y todas las aletas. Ésta es la eficiencia para una variedad de aletas.${\displaystyle A_{t}}$${\displaystyle {\dot {Q}}_{t}}$

• 

  Disipador de calor de aluminio con aletas de enfriamiento de baja eficiencia

• 

  Disipador de calor de aluminio con aletas de enfriamiento de alta eficiencia.

Aletas invertidas (cavidades)

Las cavidades abiertas se definen como las regiones formadas entre las aletas adyacentes y representan los promotores esenciales de la ebullición o condensación nucleadas. Estas cavidades se utilizan generalmente para extraer calor de una variedad de cuerpos generadores de calor. Desde 2004 hasta ahora, muchos investigadores se han sentido motivados a buscar el diseño óptimo de cavidades. ^[2]

Usos

Las aletas se utilizan con mayor frecuencia en dispositivos de intercambio de calor, como radiadores en automóviles, disipadores de calor de CPU de computadora e intercambiadores de calor en plantas de energía . ^{[3] [4]} También se utilizan en tecnologías más nuevas, como las pilas de combustible de hidrógeno . ^{[5] La} naturaleza también se ha aprovechado del fenómeno de las aletas. Las orejas de las liebres y los zorros fennec actúan como aletas para liberar el calor de la sangre que fluye a través de ellas. ^[6]

Referencias

1. Lienhard, John H. IV; Lienhard, John HV (2019). Un libro de texto de transferencia de calor (5ª ed.). Mineola, Nueva York: Dover Pub.
2. Lorenzini, G .; Biserni, C .; Rocha, LAO (2011). "Optimización geométrica de cavidades isotérmicas según la teoría de Bejan". Revista Internacional de Transferencia de Calor y Masa . 54 (17-18): 3868-3873. doi : 10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2011.04.042 .
3. "Máquina o maquinaria de aletas de radiador" . FinTool International . Consultado el 18 de septiembre de 2006 .
4. "El diseño de intercambiadores de calor de gráfico" . Gráfico. Archivado desde el original el 11 de octubre de 2006 . Consultado el 16 de septiembre de 2006 .
5. "VII.H.4 Desarrollo de un sistema de gestión térmica y de agua para pilas de combustible PEM" (PDF) . Guillermo Pont . Consultado el 17 de septiembre de 2006 .
6. Hill, R .; Veghte, J. (1976). "Orejas de liebre: temperaturas superficiales y respuestas vasculares". Ciencia . 194 (4263): 436–438. Código Bibliográfico : 1976Sci ... 194..436H . doi : 10.1126 / science.982027 . PMID 982027 . 

• Incropera, Frank ; DeWitt, David P .; Bergman, Theodore L .; Lavine, Adrienne S. (2007). Fundamentos de la transferencia de calor y masa (6 ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. págs.  2 –168. ISBN 978-0-471-45728-2.