En matemáticas, para aproximar una derivada a un orden arbitrario de precisión, es posible usar la diferencia finita . Una diferencia finita puede ser central , hacia adelante o hacia atrás .
Diferencia finita central
Esta tabla contiene los coeficientes de las diferencias centrales, para varios órdenes de precisión y con espaciado de cuadrícula uniforme: [1]
Derivado | Precisión | −5 | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | −1/2 | 0 | 1/2 | ||||||||
4 | 1/12 | −2/3 | 0 | 2/3 | −1/12 | |||||||
6 | −1/60 | 20/3 | −3/4 | 0 | 3/4 | −3/20 | 1/60 | |||||
8 | 1/280 | −4/105 | 1/5 | −4/5 | 0 | 4/5 | −1/5 | 4/105 | −1/280 | |||
2 | 2 | 1 | −2 | 1 | ||||||||
4 | −1/12 | 4/3 | −5/2 | 4/3 | −1/12 | |||||||
6 | 1/90 | −3/20 | 3/2 | −49/18 | 3/2 | −3/20 | 1/90 | |||||
8 | −1/560 | 8/315 | −1/5 | 8/5 | −205/72 | 8/5 | −1/5 | 8/315 | −1/560 | |||
3 | 2 | −1/2 | 1 | 0 | −1 | 1/2 | ||||||
4 | 1/8 | −1 | 13/8 | 0 | −13/8 | 1 | −1/8 | |||||
6 | −7/240 | 3/10 | −169/120 | 61/30 | 0 | −61/30 | 169/120 | −3/10 | 7/240 | |||
4 | 2 | 1 | −4 | 6 | −4 | 1 | ||||||
4 | −1/6 | 2 | −13/2 | 28/3 | −13/2 | 2 | −1/6 | |||||
6 | 7/240 | −2/5 | 169/60 | −122/15 | 91/8 | −122/15 | 169/60 | −2/5 | 7/240 | |||
5 | 2 | −1/2 | 2 | −5/2 | 0 | 5/2 | −2 | 1/2 | ||||
4 | 1/6 | −3/2 | 13/3 | −29/6 | 0 | 29/6 | −13/3 | 3/2 | −1/6 | |||
6 | −13/288 | 19/36 | −87/32 | 13/2 | −323/48 | 0 | 323/48 | −13/2 | 87/32 | −19/36 | 13/288 | |
6 | 2 | 1 | −6 | 15 | −20 | 15 | −6 | 1 | ||||
4 | −1/4 | 3 | −13 | 29 | −75/2 | 29 | −13 | 3 | −1/4 | |||
6 | 13/240 | −19/24 | 87/16 | −39/2 | 323/8 | −1023/20 | 323/8 | −39/2 | 87/16 | −19/24 | 13/240 |
Por ejemplo, la tercera derivada con una precisión de segundo orden es
dónde representa un espaciado de cuadrícula uniforme entre cada intervalo de diferencias finitas, y .
Para el -ésima derivada con precisión , existen coeficientes centrales . Estos vienen dados por la solución del sistema de ecuaciones lineales.
donde el único valor distinto de cero en el lado derecho está en el -lanzar.
Está disponible una implementación de código abierto para calcular coeficientes en diferencias finitas de derivadas arbitrarias y orden de precisión en una dimensión. [2]
Diferencia finita hacia adelante
Esta tabla contiene los coeficientes de las diferencias hacia adelante, para varios órdenes de precisión y con un espaciado de cuadrícula uniforme: [1]
Derivado | Precisión | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | −1 | 1 | |||||||
2 | −3/2 | 2 | −1/2 | |||||||
3 | −11/6 | 3 | −3/2 | 1/3 | ||||||
4 | −25/12 | 4 | −3 | 4/3 | −1/4 | |||||
5 | −137/60 | 5 | −5 | 10/3 | −5/4 | 1/5 | ||||
6 | −49/20 | 6 | −15/2 | 20/3 | −15/4 | 6/5 | −1/6 | |||
2 | 1 | 1 | −2 | 1 | ||||||
2 | 2 | −5 | 4 | −1 | ||||||
3 | 35/12 | −26/3 | 19/2 | −14/3 | 11/12 | |||||
4 | 15/4 | −77/6 | 107/6 | −13 | 61/12 | −5/6 | ||||
5 | 203/45 | −87/5 | 117/4 | −254/9 | 33/2 | −27/5 | 137/180 | |||
6 | 469/90 | −223/10 | 879/20 | −949/18 | 41 | −201/10 | 1019/180 | −7/10 | ||
3 | 1 | −1 | 3 | −3 | 1 | |||||
2 | −5/2 | 9 | −12 | 7 | −3/2 | |||||
3 | −17/4 | 71/4 | −59/2 | 49/2 | −41/4 | 7/4 | ||||
4 | −49/8 | 29 | −461/8 | 62 | −307/8 | 13 | −15/8 | |||
5 | −967/120 | 638/15 | −3929/40 | 389/3 | −2545/24 | 268/5 | −1849/120 | 29/15 | ||
6 | −801/80 | 349/6 | −18353/120 | 2391/10 | −1457/6 | 4891/30 | −561/8 | 527/30 | −469/240 | |
4 | 1 | 1 | −4 | 6 | −4 | 1 | ||||
2 | 3 | −14 | 26 | −24 | 11 | −2 | ||||
3 | 35/6 | −31 | 137/2 | −242/3 | 107/2 | −19 | 17/6 | |||
4 | 28/3 | −111/2 | 142 | −1219/6 | 176 | −185/2 | 82/3 | −7/2 | ||
5 | 1069/80 | −1316/15 | 15289/60 | −2144/5 | 10993/24 | −4772/15 | 2803/20 | −536/15 | 967/240 |
Por ejemplo, la primera derivada con una precisión de tercer orden y la segunda derivada con una precisión de segundo orden son
mientras que las correspondientes aproximaciones hacia atrás están dadas por
Diferencia finita hacia atrás
En general, para obtener los coeficientes de las aproximaciones hacia atrás, asigne a todas las derivadas impares enumeradas en la tabla el signo opuesto, mientras que para las derivadas pares los signos permanecen iguales. La siguiente tabla ilustra esto: [3]
Derivado | Precisión | −8 | −7 | −6 | −5 | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | −1 | 1 | |||||||
2 | 1/2 | −2 | 3/2 | |||||||
3 | −1/3 | 3/2 | −3 | 6/11 | ||||||
2 | 1 | 1 | −2 | 1 | ||||||
2 | −1 | 4 | −5 | 2 | ||||||
3 | 1 | −1 | 3 | −3 | 1 | |||||
2 | 3/2 | −7 | 12 | −9 | 5/2 | |||||
4 | 1 | 1 | −4 | 6 | −4 | 1 | ||||
2 | −2 | 11 | −24 | 26 | −14 | 3 |
Puntos de estarcido arbitrarios
Para puntos de plantilla arbitrarios dados de longitud con el orden de las derivadas , los coeficientes en diferencias finitas se pueden obtener resolviendo las ecuaciones lineales [4]
donde el son el delta de Kronecker .
Ejemplo, para , orden de diferenciación :
El orden de precisión de la aproximación toma la forma habitual .
Ver también
Referencias
- ^ a b Fornberg, Bengt (1988), "Generación de fórmulas de diferencias finitas en cuadrículas espaciadas arbitrariamente", Matemáticas de la computación , 51 (184): 699–706, doi : 10.1090 / S0025-5718-1988-0935077-0 , ISSN 0025-5718.
- ^ "Un paquete de Python para derivadas numéricas en diferencias finitas en un número arbitrario de dimensiones" .
- ^ Taylor, Cameron (12 de diciembre de 2019). "Calculadora de coeficientes de diferencia finita" . MIT.
- ^ http://web.media.mit.edu/~crtaylor/calculator.html