En el análisis numérico , dada una cuadrícula cuadrada en una o dos dimensiones, la plantilla de cinco puntos de un punto de la cuadrícula es una plantilla formada por el punto mismo junto con sus cuatro "vecinos". Se utiliza para escribir aproximaciones en diferencias finitas a derivadas en puntos de la cuadrícula. Es un ejemplo de diferenciación numérica .
Una ilustración de la plantilla de cinco puntos en una y dos dimensiones (superior e inferior, respectivamente).
En una dimensión, si el espacio entre puntos en la cuadrícula es h , entonces la plantilla de cinco puntos de un punto x en la cuadrícula es
1D primera derivada
La primera derivada de una función f de una variable real en un punto x se puede aproximar usando una plantilla de cinco puntos como: [1]
Observe que el punto central ƒ ( x ) en sí no está involucrado, solo los cuatro puntos vecinos.
Derivación
Esta fórmula se puede obtener escribiendo las cuatro series de Taylor de ƒ ( x ± h ) y ƒ ( x ± 2 h ) hasta los términos de h 3 (o hasta los términos de h 5 para obtener también una estimación del error) y resolviendo este sistema de cuatro ecuaciones para obtener ƒ ′ ( x ). En realidad, tenemos en los puntos x + h y x - h :
Evaluar Nos da
Tenga en cuenta que el término residual O 1 ( h 4 ) debe ser del orden de h 5 en lugar de h 4 porque si los términos de h 4 se hubieran escrito en ( E 1+ ) y ( E 1− ), puede ser visto que se habrían cancelado entre sí por ƒ ( x + h ) - ƒ ( x - h ). Pero para este cálculo, se deja así ya que el orden de estimación del error no se trata aquí (ver más abajo).
Del mismo modo, tenemos
y Nos da
Para eliminar los términos de ƒ (3) ( x ), calcula 8 × ( E 1 ) - ( E 2 )
dando así la fórmula anterior. Nota: los coeficientes de f en esta fórmula, (8, -8, -1,1), representan un ejemplo específico del filtro Savitzky-Golay más general .
Estimación de error
El error en esta aproximación es de orden h 4 . Eso se puede ver en la expansión.
- [2]
que se puede obtener expandiendo el lado izquierdo en una serie de Taylor . Alternativamente, aplique la extrapolación de Richardson a la aproximación de diferencia central paraen cuadrículas con espaciamiento 2 h y h .
Derivadas 1D de orden superior
Las fórmulas de diferencia centrada para galerías de símbolos de cinco puntos que se aproximan a las derivadas segunda, tercera y cuarta son
Los errores en estas aproximaciones son O ( h 4 ), O ( h 2 ) y O ( h 2 ) respectivamente. [2]
Relación con polinomios de interpolación de Lagrange
Como alternativa a derivar los pesos en diferencias finitas de la serie de Taylor, se pueden obtener diferenciando los polinomios de Lagrange
donde los puntos de interpolación son
Entonces, el polinomio cuartico interpolar f ( x ) en estos cinco puntos es
y su derivada es
Entonces, la aproximación en diferencias finitas de ƒ ′ ( x ) en el punto medio x = x 2 es
Evaluar las derivadas de los cinco polinomios de Lagrange en x = x 2 da los mismos pesos que antes. Este método puede ser más flexible ya que la extensión a una cuadrícula no uniforme es bastante sencilla.
En dos dimensiones, si, por ejemplo, el tamaño de los cuadrados en la cuadrícula es h por h , la plantilla de cinco puntos de un punto ( x , y ) en la cuadrícula es
formando un patrón que también se llama quincuncio . Esta plantilla se usa a menudo para aproximar el laplaciano de una función de dos variables:
El error en esta aproximación es O ( h 2 ), [3] que puede explicarse de la siguiente manera:
De las plantillas de 3 puntos para la segunda derivada de una función con respecto a xey:
Si asumimos :