Módulo generado finitamente
En matemáticas , un módulo generado finitamente es un módulo que tiene un conjunto generador finito . Un módulo generado finitamente sobre un anillo R también puede denominarse módulo R finito , finito sobre R , [1] o módulo de tipo finito .
Los conceptos relacionados incluyen módulos cogenerados finitamente , módulos presentados finitamente , módulos relacionados finitamente y módulos coherentes , todos los cuales se definen a continuación. Sobre un anillo noetheriano coinciden los conceptos de módulos finitamente generados, finitamente presentados y coherentes.
Un módulo generado finitamente sobre un campo es simplemente un espacio vectorial de dimensión finita , y un módulo generado finitamente sobre los enteros es simplemente un grupo abeliano generado finitamente .
El módulo R izquierdo M se genera finitamente si existen a 1 , a 2 , ..., an en M tal que para cualquier x en M , existen r 1 , r 2 , ... , r n en R con x = r 1 un 1 + r 2 un 2 + ... + r norte un norte .
El conjunto { a 1 , a 2 , ..., a n } se denomina conjunto generador de M en este caso. Un conjunto generador finito no necesita ser una base, ya que no necesita ser linealmente independiente sobre R . Lo que es cierto es: M se genera finitamente si y solo si hay un mapa R lineal sobreyectivo :
Si un conjunto S genera un módulo que se genera de forma finita, entonces hay un conjunto generador finito que se incluye en S , ya que solo se necesitan un número finito de elementos en S para expresar cualquier conjunto generador finito, y estos elementos finitos forman un conjunto generador . Sin embargo, puede ocurrir que S no contenga ningún conjunto generador finito de cardinalidad mínima . Por ejemplo , {1} y el conjunto de los números primos son conjuntos generadores de vistos como -módulo, pero un conjunto generador formado por números primos tiene al menos dos elementos.
