lógica de primer orden
La lógica de primer orden, también conocida como lógica de predicados , lógica cuantificacional y cálculo de predicados de primer orden, es una colección de sistemas formales utilizados en matemáticas , filosofía , lingüística e informática . La lógica de primer orden usa variables cuantificadas sobre objetos no lógicos y permite el uso de oraciones que contienen variables, de modo que en lugar de proposiciones como "Sócrates es un hombre", uno puede tener expresiones en la forma "existe x tal que x es Sócrates y x es un hombre", donde "existe " es un cuantificador, mientras que xes una variable [1] Esto la distingue de la lógica proposicional , que no utiliza cuantificadores ni relaciones ; [2] en este sentido, la lógica proposicional es el fundamento de la lógica de primer orden.
Una teoría sobre un tema suele ser una lógica de primer orden junto con un dominio específico del discurso (sobre el cual se extienden las variables cuantificadas), un número finito de funciones de ese dominio a sí mismo, un número finito de predicados definidos en ese dominio y un conjunto de axiomas. cree tener sobre ellos. A veces, "teoría" se entiende en un sentido más formal, que es solo un conjunto de oraciones en lógica de primer orden.
El adjetivo "primer orden" distingue la lógica de primer orden de la lógica de orden superior , en la que hay predicados que tienen predicados o funciones como argumentos, o en la que se permiten cuantificadores de predicados o cuantificadores de funciones, o ambos. [3] : 56 En las teorías de primer orden, los predicados a menudo se asocian con conjuntos. En las teorías interpretadas de orden superior, los predicados pueden interpretarse como conjuntos de conjuntos.
Hay muchos sistemas deductivos para la lógica de primer orden que son sólidos (es decir, todos los enunciados demostrables son verdaderos en todos los modelos) y completos (es decir, todos los enunciados que son verdaderos en todos los modelos son demostrables). Aunque la relación de consecuencia lógica es solo semidecidible , se ha avanzado mucho en la demostración automática de teoremas en lógica de primer orden. La lógica de primer orden también satisface varios teoremas metalógicos que la hacen susceptible de análisis en la teoría de la prueba , como el teorema de Löwenheim-Skolem y el teorema de compacidad .
La lógica de primer orden es el estándar para la formalización de las matemáticas en axiomas , y se estudia en los fundamentos de las matemáticas .La aritmética de Peano y la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel son axiomatizaciones de la teoría de números y la teoría de conjuntos , respectivamente, en lógica de primer orden. Sin embargo, ninguna teoría de primer orden tiene la fuerza para describir de manera única una estructura con un dominio infinito, como los números naturales o la línea real . Los sistemas de axiomas que describen completamente estas dos estructuras (es decir, los sistemas de axiomas categóricos ) se pueden obtener en lógicas más fuertes como la lógica de segundo orden .
Los fundamentos de la lógica de primer orden fueron desarrollados de forma independiente por Gottlob Frege y Charles Sanders Peirce . [4] Para una historia de la lógica de primer orden y cómo llegó a dominar la lógica formal, véase José Ferreirós (2001).
