En la lógica de primer orden , una teoría de primer orden viene dada por un conjunto de axiomas en algún lenguaje. Esta entrada enumera algunos de los ejemplos más comunes utilizados en la teoría de modelos y algunas de sus propiedades.
Para cada estructura matemática natural hay una firma σ que enumera las constantes, funciones y relaciones de la teoría junto con sus aridades , de modo que el objeto es naturalmente una estructura σ . Dada una firma σ, existe un lenguaje único de primer orden L σ que se puede usar para capturar los hechos expresables de primer orden sobre la estructura σ.
Una de las pocas propiedades interesantes que se pueden enunciar en el lenguaje de la teoría de la identidad pura es la de ser infinito. Esto viene dado por un conjunto infinito de axiomas que establecen que hay al menos 2 elementos, hay al menos 3 elementos, y así sucesivamente:
La propiedad opuesta de ser finito no se puede establecer en la lógica de primer orden para ninguna teoría que tenga modelos finitos arbitrariamente grandes: de hecho, cualquier teoría de este tipo tiene modelos infinitos por el teorema de compacidad . En general, si una propiedad puede enunciarse mediante un número finito de oraciones de lógica de primer orden, entonces la propiedad opuesta también puede enunciarse en lógica de primer orden, pero si una propiedad necesita un número infinito de oraciones, entonces su propiedad opuesta no se puede enunciar. en lógica de primer orden.
Cualquier enunciado de la teoría de la identidad pura es equivalente a σ( N ) o a ¬σ( N ) para algún subconjunto finito N de los enteros no negativos , donde σ( N ) es el enunciado de que el número de elementos está en N . Incluso es posible describir todas las teorías posibles en este lenguaje de la siguiente manera. Cualquier teoría es la teoría de todos los conjuntos de cardinalidad en N para algún subconjunto finito N de los enteros no negativos, o la teoría de todos los conjuntos cuya cardinalidad no está en N , para algún subconjunto finito o infinito Nde los enteros no negativos. (No hay teorías cuyos modelos sean exactamente conjuntos de cardinalidad N si N es un subconjunto infinito de los enteros). Las teorías completas son las teorías de conjuntos de cardinalidad n para algún n finito y la teoría de conjuntos infinitos.
Un caso especial de esto es la teoría inconsistente definida por el axioma ∃ x ¬ x = x . Es una teoría perfectamente buena con muchas buenas propiedades: es completa, decidible, finitamente axiomatizable, etc. El único problema es que no tiene modelos en absoluto. Por el teorema de completitud de Gödel, es la única teoría (para cualquier lenguaje dado) sin modelos. [1] No es lo mismo que la teoría del conjunto vacío (en versiones de lógica de primer orden que permiten que un modelo sea vacío): la teoría del conjunto vacío tiene exactamente un modelo, que no tiene elementos.