En estadística , la consistencia de Fisher , que lleva el nombre de Ronald Fisher , es una propiedad deseable de un estimador que afirma que si el estimador se calculara utilizando toda la población en lugar de una muestra , se obtendría el valor real del parámetro estimado. [1]
Definición
Supongamos que tenemos una muestra estadística X 1 , ..., X n donde cada X i sigue una distribución acumulativa F θ que depende de un parámetro desconocido θ . Si un estimador de θ basado en la muestra puede representarse como una función de la función de distribución empírica F̂ n :
Se dice que el estimador es consistente con Fisher si:
Siempre que los X i sean intercambiables , un estimador T definido en términos de X i se puede convertir en un estimador T ' que se puede definir en términos de F̂ n promediando T sobre todas las permutaciones de los datos. El estimador resultante tendrá el mismo valor esperado como T y su varianza no será mayor que la de T .
Si se puede aplicar la ley fuerte de los números grandes , las funciones de distribución empírica F̂ n convergen puntualmente a F θ , lo que nos permite expresar la consistencia de Fisher como un límite; el estimador es consistente de Fisher si
Ejemplo de población finita
Suponga que nuestra muestra se obtiene de una población finita Z 1 , ..., Z m . Podemos representar nuestra muestra de tamaño n en términos de la proporción de la muestra n i / n que toma cada valor en la población. Escribiendo nuestro estimador de θ como T ( n 1 / n , ..., n m / n ), el análogo poblacional del estimador es T ( p 1 , ..., p m ), donde p i = P ( X = Z i ). Por tanto, tenemos la consistencia de Fisher si T ( p 1 , ..., p m ) = θ.
Suponga que el parámetro de interés es el valor esperado μ y el estimador es la media muestral , que se puede escribir
donde I es la función del indicador . El análogo poblacional de esta expresión es
por lo que tenemos la coherencia de Fisher.
Papel en la estimación de máxima verosimilitud
Maximizar la función de verosimilitud L da una estimación que es consistente de Fisher para un parámetro b si
Relación con la consistencia asintótica y la imparcialidad
El término consistencia en las estadísticas generalmente se refiere a un estimador que es asintóticamente consistente . La consistencia de Fisher y la consistencia asintótica son conceptos distintos, aunque ambos apuntan a definir una propiedad deseable de un estimador. Si bien muchos estimadores son consistentes en ambos sentidos, ninguna definición abarca a la otra. Por ejemplo, supongamos que tomamos un estimador T n que es consistente de Fisher y asintóticamente consistente, y luego formamos T n + E n , donde E n es una secuencia determinista de números distintos de cero que convergen a cero. Este estimador es asintóticamente consistente, pero no consistente con Fisher para ningún n . Alternativamente, tome una secuencia de estimadores consistentes de Fisher S n , luego defina T n = S n para n
La media muestral es una estimación consistente e insesgada de Fisher de la media poblacional, pero no todas las estimaciones consistentes de Fisher son insesgadas. Suponga que observamos una muestra de una distribución uniforme en (0, θ) y deseamos estimar θ. El máximo de la muestra es consistente con Fisher, pero sesgado a la baja. Por el contrario, la varianza de la muestra es una estimación insesgada de la varianza de la población, pero no es consistente con Fisher.
Papel en la teoría de la decisión
Una función de pérdida es consistente de Fisher si el minimizador de población del riesgo conduce a la regla de decisión óptima de Bayes. [5]
Referencias
- ^ Fisher, RA (1922). "Sobre los fundamentos matemáticos de la estadística teórica" . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático o físico . 222 (594–604): 309–368. doi : 10.1098 / rsta.1922.0009 . JFM 48.1280.02 . JSTOR 91208 .
- ^ Cox, DR, Hinkley DV (1974) Estadísticas teóricas , Chapman y Hall, ISBN 0-412-12420-3 . (definido en p287)
- ^ Jurečková, Jana ; Jan Picek (2006). Métodos estadísticos robustos con R . Prensa CRC. ISBN 1-58488-454-1.
- ^ http://economics.about.com/library/glossary/bldef-fisher-consistency.htm
- ^ http://www.stat.osu.edu/~yklee/881/consistency.pdf