En matemáticas , el término funcional (como sustantivo) tiene al menos tres significados.
- En álgebra lineal moderna , se refiere a un mapeo lineal de un espacio vectorialen su campo de escalares , es decir, se refiere a un elemento del espacio dual .
- En el análisis matemático , de manera más general e histórica, se refiere a un mapeo de un espacioen los números reales , o algunas veces en los números complejos , con el propósito de establecer una estructura similar al cálculo en. Dependiendo del autor, tales asignaciones pueden o no suponerse que son lineales, o que están definidas en todo el espacio..
- En informática , es sinónimo de funciones de orden superior , es decir, funciones que toman funciones como argumentos o las devuelven.
Este artículo se ocupa principalmente del segundo concepto, que surgió a principios del siglo XVIII como parte del cálculo de variaciones . El primer concepto, que es más moderno y abstracto, se analiza en detalle en un artículo separado, bajo el nombre de forma lineal . El tercer concepto se detalla en el artículo sobre funciones de orden superior .
Comúnmente, el espacio es un espacio de funciones. En este caso, lo funcional es una "función de una función", y algunos autores más antiguos definen el término "funcional" en el sentido de "función de una función". Sin embargo, el hecho de queEs un espacio de funciones que no es matemáticamente esencial, por lo que esta definición anterior ya no prevalece. [ cita requerida ]
El término se origina en el cálculo de variaciones , donde se busca una función que minimice (o maximice) una determinada función. Una aplicación particularmente importante en física es la búsqueda de un estado de un sistema que minimice (o maximice) la acción , o en otras palabras, la integral de tiempo del Lagrangiano .
Detalles
Dualidad
El mapeo
es una función, donde x 0 es un argumento de una función f . Al mismo tiempo, la asignación de una función al valor de la función en un punto
es funcional ; aquí, x 0 es un parámetro .
Siempre que f sea una función lineal desde un espacio vectorial hasta el campo escalar subyacente, los mapas lineales anteriores son duales entre sí y, en el análisis funcional, ambos se denominan funcionales lineales .
Integral definida
Integrales como
forman una clase especial de funcionales. Ellos mapean una función en un número real, siempre que es de valor real. Ejemplos incluyen
- el área debajo de la gráfica de una función positiva
- L p norma de una función en un conjunto
Espacios interiores de productos
Dado un espacio de producto interior y un vector fijo , el mapa definido por es un funcional lineal en . El conjunto de vectores tal que es cero es un subespacio vectorial de , llamado el espacio nulo o núcleo de lo funcional, o el complemento ortogonal de, denotado .
Por ejemplo, tomando el producto interior con una función fija define un funcional (lineal) en el espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables en :
Localidad
Si el valor de un funcional se puede calcular para pequeños segmentos de la curva de entrada y luego se suma para encontrar el valor total, el funcional se llama local. De lo contrario, se llama no local. Por ejemplo:
es local mientras
no es local. Esto ocurre comúnmente cuando las integrales ocurren por separado en el numerador y denominador de una ecuación, como en los cálculos del centro de masa.
Resolución de ecuaciones
El uso tradicional también se aplica cuando se habla de una ecuación funcional, es decir, una ecuación entre funcionales: una ecuación F = G entre funcionales se puede leer como una 'ecuación para resolver', siendo las soluciones funciones en sí mismas. En tales ecuaciones puede haber varios conjuntos de variables incógnitas, como cuando se dice que una función aditiva f es aquella que satisface la ecuación funcional
Derivada e integración
Las derivadas funcionales se utilizan en la mecánica de Lagrange . Son derivados de funcionales: es decir, llevan información sobre cómo cambia un funcional cuando la función de entrada cambia en una pequeña cantidad.
Richard Feynman usó integrales funcionales como la idea central en su suma sobre la formulación de historias de la mecánica cuántica . Este uso implica una integral asumida sobre algún espacio funcional .
Ver también
Referencias
- "Funcional" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Rowland, Todd. "Funcional" . MathWorld .
- Lang, Serge (2002), "III. Módulos, §6. El espacio dual y el módulo dual", Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, págs. 142-146 , ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0.984,00001