Encajar lema

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El lema de Fitting , llamado así por el matemático Hans Fitting , es una declaración básica en álgebra abstracta . Supongamos que M es un módulo sobre algún anillo . Si M es indescomponible y tiene una longitud finita , entonces todo endomorfismo de M es un automorfismo o nilpotente . ^[1]

Como consecuencia inmediata, vemos que el anillo de endomorfismo de cada módulo indecomponible de longitud finita es local .

Una versión del lema de Fitting se usa a menudo en la teoría de la representación de grupos . De hecho, este es un caso especial de la versión anterior, ya que cada representación lineal K de un grupo G puede verse como un módulo sobre el álgebra de grupo KG .

Para probar el lema de Fitting, tomamos un endomorfismo f de M y consideramos las siguientes dos secuencias de submódulos:

Debido a que tiene una longitud finita, ambas secuencias deben eventualmente estabilizarse, por lo que hay algunas con para todos y algunas con para todos .${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathrm {im} (f ^ {n}) = \ mathrm {im} (f ^ {n ^ {\ prime}})}$${\ Displaystyle n ^ {\ prime} \ geq n}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ mathrm {ker} (f ^ {m}) = \ mathrm {ker} (f ^ {m ^ {\ prime}})}$${\ Displaystyle m ^ {\ prime} \ geq m}$

Vamos ahora , y observemos que por construcción y . ${\ Displaystyle k = \ max \ {n, m \}}$${\displaystyle \mathrm {im} (f^{2k})=\mathrm {im} (f^{k})}$${\ Displaystyle \ mathrm {ker} (f ^ {2k}) = \ mathrm {ker} (f ^ {k})}$

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