En álgebra abstracta , la longitud de un módulo es una generalización de la dimensión de un espacio vectorial que mide su tamaño. [1] página 153 En particular, como en el caso de los espacios vectoriales, los únicos módulos de longitud finita son módulos generados finitamente . Se define como la longitud de la cadena más larga de submódulos . Los módulos con longitud finita comparten muchas propiedades importantes con los espacios vectoriales de dimensión finita.
Otros conceptos que se utilizan para "contar" en la teoría de anillos y módulos son profundidad y altura ; ambos son algo más sutiles de definir. Además, su uso está más alineado con la teoría de la dimensión, mientras que la longitud se usa para analizar módulos finitos. También hay varias ideas de dimensión que son útiles. Los anillos conmutativos de longitud finita juegan un papel esencial en los tratamientos functoriales de la geometría algebraica formal y la teoría de la deformación, donde los anillos de Artin se utilizan ampliamente.
Definición
Longitud de un módulo
Dejar ser un módulo (izquierdo o derecho) sobre algún anillo . Dada una cadena de submódulos de de la forma
Nosotros decimos eso es la longitud de la cadena. [1] La longitud de se define como la longitud más grande de cualquiera de sus cadenas. Si no existe tal longitud mayor, decimos quetiene una longitud infinita .
Longitud de un anillo
Un anillo se dice que tiene una longitud finita como un anillo si tiene una longitud finita como izquierda -módulo.
Propiedades
Longitud finita y módulos finitos
Si una -módulo tiene una longitud finita, entonces se genera finitamente . [2] Si R es un campo, entonces lo contrario también es cierto.
Relación con los módulos artiniano y noetheriano
Un -módulo tiene una longitud finita si y solo si es un módulo noetheriano y un módulo artiniano [1] (cf. teorema de Hopkins ). Dado que todos los anillos artinianos son noetherianos, esto implica que un anillo tiene una longitud finita si y solo si es artiniano.
Comportamiento con respecto a secuencias breves y exactas
Suponer
es una breve secuencia exacta de-módulos. Entonces M tiene una longitud finita si y solo si L y N tienen una longitud finita, y tenemos
En particular, implica las siguientes dos propiedades
- La suma directa de dos módulos de longitud finita tiene una longitud finita
- El submódulo de un módulo con longitud finita tiene una longitud finita y su longitud es menor o igual que su módulo principal.
Teorema de Jordan-Hölder
Una serie de composición del módulo M es una cadena de la forma
tal que
Un módulo M tiene longitud finita si y sólo si tiene un (finito) serie de composición, y la longitud de cada una de tales series composición es igual a la longitud de M .
Ejemplos de
Espacios vectoriales de dimensión finita
Cualquier espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo tiene una longitud finita. Dada una base ahí está la cadena
que es de longitud . Es máxima porque dada cualquier cadena,
la dimensión de cada inclusión aumentará al menos en . Por tanto, su longitud y dimensión coinciden.
Módulos artinianos
Sobre un anillo de base Los módulos Artinian forman una clase de ejemplos de módulos finitos. De hecho, estos ejemplos sirven como herramientas básicas para definir el orden de desaparición en la teoría de la intersección . [3]
Módulo cero
El módulo cero es el único con longitud 0.
Módulos simples
Los módulos con longitud 1 son precisamente los módulos simples .
Módulos artinianos sobre Z
La longitud del grupo cíclico (visto como un módulo sobre los enteros Z ) es igual al número de factores primos de, con múltiples factores primos contados varias veces. Esto se puede encontrar utilizando el teorema del resto chino .
Uso en teoría de la multiplicidad
Para la necesidad de la teoría de la intersección , Jean-Pierre Serre introdujo una noción general de la multiplicidad de un punto, como la longitud de un anillo local artiniano relacionado con este punto.
La primera aplicación fue una definición completa de la multiplicidad de intersección y, en particular, un enunciado del teorema de Bézout que afirma que la suma de las multiplicidades de los puntos de intersección de n hipersuperficies algebraicas en un espacio proyectivo n- dimensional es infinita o es exactamente el producto de los grados de las hipersuperficies.
Esta definición de multiplicidad es bastante general y contiene como casos especiales la mayoría de las nociones anteriores de multiplicidad algebraica.
Orden de desaparición de ceros y polos
Un caso especial de esta definición general de multiplicidad es el orden de desaparición de una función algebraica distinta de cero. en una variedad algebraica. Dada una variedad algebraica y una subvariedad de codimensión 1 [3] el orden de desaparición de un polinomiose define como [4]
dónde es el anillo local definido por el tallo de a lo largo de la subvariedad [3] páginas 426-227 , o, de manera equivalente, el tallo de en el punto genérico de [5] página 22 . Sies una variedad afín , y se define por el locus de desaparición , luego está el isomorfismo
Esta idea puede luego extenderse a funciones racionales. en la variedad donde el orden se define como
[3]
que es similar a definir el orden de ceros y polos en Análisis complejo .
Ejemplo de una variedad proyectiva
Por ejemplo, considere una superficie proyectiva definido por un polinomio , entonces el orden de desaparición de una función racional
es dado por
dónde
Por ejemplo, si y y luego
desde es una unidad (teoría del anillo) en el anillo local. En el otro caso, es una unidad, por lo que el módulo del cociente es isomorfo a
entonces tiene longitud . Esto se puede encontrar usando la secuencia máxima adecuada
Cero y polos de una función analítica
El orden de desaparición es una generalización del orden de ceros y polos para funciones meromórficas en análisis complejo . Por ejemplo, la función
tiene ceros de orden 2 y 1 en y un poste de orden a . Este tipo de información se puede codificar utilizando la longitud de los módulos. Por ejemplo, establecer y , existe el anillo local asociado es y el módulo del cociente
Tenga en cuenta que es una unidad, por lo que es isomorfo al módulo del cociente
Su longitud es ya que existe la cadena máxima
de submódulos. [6] De manera más general, utilizando el teorema de factorización de Weierstrass, una función meromórfica factoriza como
que es un producto (posiblemente infinito) de polinomios lineales tanto en el numerador como en el denominador.
Ver también
- Serie Hilbert – Poincaré
- Divisor de Weil
- Anillo de chow
- Teoría de la intersección
- Teorema de factorización de Weierstrass
- Las conjeturas de la multiplicidad de Serre
- Esquema de Hilbert : se puede utilizar para estudiar módulos en un esquema con una longitud fija
- Teorema de Krull-Schmidt
Referencias
- ^ a b c "Un término de álgebra conmutativa" . www.centerofmathematics.com . págs. 153-158. Archivado desde el original el 2 de marzo de 2013 . Consultado el 22 de mayo de 2020 . URL alternativa
- ^ "Lema 10.51.2 (02LZ) —El proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 22 de mayo de 2020 .
- ^ a b c d Fulton, William, 1939- (1998). Teoría de la intersección (2ª ed.). Berlín: Springer. págs. 8-10. ISBN 3-540-62046-X. OCLC 38048404 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ "Sección 31.26 (0BE0): divisores Weil: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 22 de mayo de 2020 .
- ^ Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas. 52 . Nueva York, NY: Springer New York. doi : 10.1007 / 978-1-4757-3849-0 . ISBN 978-1-4419-2807-8.
- ^ "Sección 10.120 (02MB): Órdenes de desaparición: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 22 de mayo de 2020 .
enlaces externos
- Steven H. Weintraub, Teoría de representación de grupos finitos AMS (2003) ISBN 0-8218-3222-0 , ISBN 978-0-8218-3222-6
- Allen Altman, Steven Kleiman, Un término de álgebra conmutativa .
- El proyecto Stacks. Largo