Secuencia exacta de cinco términos
En matemáticas, la secuencia exacta de cinco términos o secuencia exacta de términos de bajo grado es una secuencia de términos relacionados con el primer paso de una secuencia espectral .
ser una secuencia espectral de primer cuadrante, lo que significa que desaparece excepto cuando p y q no son negativos. Entonces hay una sucesión exacta
Aquí, el mapa es el diferencial del término - de la secuencia espectral.
La secuencia es una consecuencia de la definición de convergencia de una secuencia espectral. El diferencial de la segunda página con el codominio E 2 1,0 se origina en E 2 −1,1 , que es cero por suposición. La diferencial con dominio E 2 1,0 tiene codominio E 2 3,−1 , que también es cero por suposición. De manera similar, los diferenciales entrantes y salientes de E r 1,0 son cero para todo r ≥ 2 . Por lo tanto, el término (1,0) de la secuencia espectral ha convergido, lo que significa que es isomorfo al grado una pieza escalonada del pilar H 1( A ). Debido a que la secuencia espectral se encuentra en el primer cuadrante, el grado uno de las piezas graduadas es igual al primer subgrupo en la filtración que define las piezas graduadas. La inclusión de este subgrupo produce la inyección E 2 1,0 → H 1 ( A ) que comienza la secuencia exacta de cinco términos. Esta inyección se denomina mapa de bordes .
El término E 2 0,1 de la secuencia espectral no ha convergido. Tiene un diferencial potencialmente no trivial que conduce a E 2 2,0 . Sin embargo, el aterrizaje diferencial en E 2 0,1 comienza en E 2 −2,2 , que es cero, y por lo tanto E 3 0,1 es el núcleo del diferencial E 2 0,1 → E 2 2,0 . En la tercera página, el término (0, 1) de la secuencia espectral ha convergido, porque todos los diferenciales dentro y fuera de E r 0,1comienzan o terminan fuera del primer cuadrante cuando r ≥ 3 . En consecuencia , E 3 0,1 es la pieza graduada de grado cero de H 1 ( A ). Esta pieza graduada es el cociente de H 1 ( A ) por el primer subgrupo en la filtración, y por lo tanto es el conúcleo del mapa de borde de E 2 1,0 . Esto produce una sucesión exacta corta
Como E 3 0,1 es el núcleo de la diferencial E 2 0,1 → E 2 2,0 , el último término de la sucesión exacta corta se puede reemplazar con la diferencial. Esto produce una secuencia exacta de cuatro términos. El mapa H 1 ( A ) → E 2 0,1 también se llama mapa de borde.