En álgebra homológica y topología algebraica , una secuencia espectral es un medio de calcular grupos de homología tomando aproximaciones sucesivas. Las secuencias espectrales son una generalización de secuencias exactas , y desde su introducción por Jean Leray ( 1946 ), se han convertido en importantes herramientas computacionales, particularmente en topología algebraica , geometría algebraica y álgebra homológica .
Descubrimiento y motivación
Motivado por problemas en la topología algebraica , Jean Leray introdujo la noción de haz y se enfrentó al problema de calcular la cohomología del haz . Para calcular la cohomología de la gavilla, Leray introdujo una técnica computacional ahora conocida como secuencia espectral de Leray . Esto dio una relación entre los grupos de cohomología de una gavilla y los grupos de cohomología del empuje hacia adelante de la gavilla . La relación implicó un proceso infinito. Leray descubrió que los grupos de cohomología del empuje hacia adelante formaban un complejo de cadena natural , de modo que podía tomar la cohomología de la cohomología. Esta todavía no era la cohomología de la gavilla original, pero en cierto sentido estaba un paso más cerca. La cohomología de la cohomología volvió a formar un complejo de cadena, y su cohomología formó un complejo de cadena, y así sucesivamente. El límite de este proceso infinito era esencialmente el mismo que el de los grupos de cohomología de la gavilla original.
Pronto se comprendió que la técnica computacional de Leray era un ejemplo de un fenómeno más general. Se encontraron secuencias espectrales en diversas situaciones, y dieron intrincadas relaciones entre grupos de homología y cohomología provenientes de situaciones geométricas como fibraciones y de situaciones algebraicas que involucran functores derivados . Si bien su importancia teórica ha disminuido desde la introducción de las categorías derivadas , siguen siendo la herramienta computacional más eficaz disponible. Esto es cierto incluso cuando muchos de los términos de la secuencia espectral son incalculables.
Desafortunadamente, debido a la gran cantidad de información contenida en secuencias espectrales, son difíciles de captar. Esta información suele estar contenida en una red de rango tres de grupos o módulos abelianos . Los casos más fáciles de tratar son aquellos en los que la secuencia espectral finalmente colapsa, lo que significa que avanzar más en la secuencia no produce nueva información. Incluso cuando esto no sucede, a menudo es posible obtener información útil de una secuencia espectral mediante varios trucos.
Definicion formal
Definición
Fija una categoría abeliana , como una categoría de módulos sobre un anillo . Una secuencia espectral cohomológica es una elección de un entero no negativo y una colección de tres secuencias:
- Para todos los enteros , un objeto , llamado hoja (como en una hoja de papel ), o algunas veces una página o un término ;
- Endomorfismos satisfactorio , llamados mapas de límites o diferenciales ;
- Isomorfismos de con , la homología de con respecto a .
Por lo general, los isomorfismos entre y se suprimen, y en su lugar escribimos igualdades. Algunas vecesse llama el objeto derivado de. [ cita requerida ]
Secuencia espectral de un complejo de cadena
El ejemplo más elemental es un complejo de cadenas C • . Un objeto C • en una categoría abeliana de complejos de cadenas viene con un diferencial d . Dejar que r 0 = 0, y dejar que E 0 sea C • . Esto obliga a E 1 a ser el complejo H ( C • ): En la i -ésima ubicación, este es el i -ésimo grupo de homología de C • . El único diferencial natural en este nuevo complejo es el mapa cero, por lo que dejamos d 1 = 0. Esto fuerza A igual , y nuevamente nuestro único diferencial natural es el mapa cero. Poner el diferencial cero en el resto de nuestras hojas da una secuencia espectral cuyos términos son:
- E 0 = C •
- E r = H ( C • ) para todo r ≥ 1.
Los términos de esta secuencia espectral se estabilizan en la primera hoja porque su único diferencial no trivial estaba en la hoja cero. En consecuencia, no podemos obtener más información en pasos posteriores. Por lo general, para obtener información útil de hojas posteriores, necesitamos una estructura adicional en el.
Tipos de secuencias espectrales
En la situación sin clasificar descrita anteriormente, r 0 es irrelevante, pero en la práctica la mayoría de las secuencias espectrales ocurren en la categoría de módulos doblemente graduados sobre un anillo R (o haces de módulos doblemente graduados sobre un haz de anillos). En este caso, cada hoja es un módulo doblemente calificado, por lo que se descompone como una suma directa de términos con un término por cada posible bidegrado. El mapa de límites se define como la suma directa de los mapas de límites en cada uno de los términos de la hoja. Su grado depende de ry está fijado por convención. Para una secuencia espectral homológica , los términos se escribeny los diferenciales tienen bidegree (- r , r - 1). Para una secuencia espectral cohomológica, los términos se escribeny los diferenciales tienen bidegree ( r , 1 - r ). (Estas opciones de bidegree ocurren naturalmente en la práctica; vea el ejemplo de un complejo doble a continuación). Dependiendo de la secuencia espectral, el mapa de límites en la primera hoja puede tener un grado que corresponda a r = 0, r = 1 o r = 2. Por ejemplo, para la secuencia espectral de un complejo filtrado, que se describe a continuación, r 0 = 0, pero para la secuencia espectral de Grothendieck , r 0 = 2. Por lo general, r 0 es cero, uno o dos.
Propiedades categóricas
Un morfismo de secuencias espectrales E → E ' es por definición una colección de mapas f r : E r → E' r que son compatibles con los diferenciales y con los isomorfismos dados entre la cohomología del paso r- ésimo y el (r + 1) th hojas de E y E ' , respectivamente.
La interpretación como filtración de ciclos y límites
Sea E r una secuencia espectral, comenzando con, digamos, r = 1. Entonces hay una secuencia de subobjetos
tal que ; de hecho, de forma recursiva dejamos y deja sea para que son el núcleo y la imagen de
Entonces dejamos y
- ;
se llama término limitante. (Por supuesto, talno es necesario que exista en la categoría, pero esto generalmente no es un problema ya que, por ejemplo, en la categoría de módulos existen tales límites o porque en la práctica una secuencia espectral con la que se trabaja tiende a degenerar; solo hay un número finito de inclusiones en la secuencia anterior).
Visualización
Una secuencia espectral doblemente graduada tiene una enorme cantidad de datos para realizar un seguimiento, pero existe una técnica de visualización común que hace que la estructura de la secuencia espectral sea más clara. Tenemos tres índices, r , p , y q . Para cada r , imagina que tenemos una hoja de papel cuadriculado. En esta hoja, tomaremos p como la dirección horizontal y q como la dirección vertical. En cada punto de celosía tenemos el objeto.
Es muy común que n = p + q sea otro índice natural en la secuencia espectral. n corre en diagonal, de noroeste a sureste, a través de cada hoja. En el caso homológico, los diferenciales tienen bidegree (- r , r - 1), por lo que disminuyen n en uno. En el caso cohomológico, n se incrementa en uno. Cuando r es cero, el diferencial mueve los objetos un espacio hacia abajo o hacia arriba. Esto es similar al diferencial en un complejo de cadena. Cuando r es uno, el diferencial mueve los objetos un espacio hacia la izquierda o hacia la derecha. Cuando r es dos, el diferencial mueve objetos como el movimiento de un caballo en el ajedrez . Para r más alto , el diferencial actúa como un movimiento de caballo generalizado.
Ejemplos resueltos
Al aprender secuencias espectrales por primera vez, a menudo es útil trabajar con ejemplos computacionales simples. Para discusiones más formales y completas, vea las secciones a continuación. Para los ejemplos de esta sección, basta con utilizar esta definición: se dice que una secuencia espectral converge a H con una filtración creciente F si. Los ejemplos siguientes ilustran cómo se relacionan tales filtraciones con la-término en forma de secuencias exactas; muchas secuencias exactas en aplicaciones (por ejemplo, secuencia Gysin ) surgen de esta manera.
2 columnas adyacentes distintas de cero
Dejar ser una secuencia espectral homológica tal que para todos los p distintos de 0, 1. Visualmente, esta es la secuencia espectral con-página
Los diferenciales de la segunda página tienen grado (-2, 1), por lo que son de la forma
Estos mapas son todos cero, ya que son
,
de ahí que la secuencia espectral degenere: . Diga, converge a con una filtración
tal que . Luego, , , , etc. Por lo tanto, existe la secuencia exacta: [1]
.
A continuación, deja ser una secuencia espectral cuya segunda página consta sólo de dos líneas q = 0, 1. Esto no necesita degenerar en la segunda página pero todavía degenera en la tercera página ya que los diferenciales allí tienen grado (-3, 2). Nota, ya que el denominador es cero. Similar,. Por lo tanto,
.
Ahora, digamos, la secuencia espectral converge a H con una filtración F como en el ejemplo anterior. Desde, , etc., tenemos: . Poniendo todo junto, se obtiene: [2]
Secuencia de Wang
El cálculo de la sección anterior se generaliza de forma sencilla. Considere una fibración sobre una esfera:
con n al menos 2. Existe la secuencia espectral de Serre :
;
es decir, con algo de filtración . Desdees diferente de cero solo cuando p es cero on e igual a Z en ese caso, vemos consta de solo dos líneas , por lo tanto, la -página está dada por
Además, dado que
por por el teorema del coeficiente universal , el la página parece
Dado que los únicos diferenciales distintos de cero están en el -página, dada por
cual es
la secuencia espectral converge en . Por computación obtenemos una secuencia exacta
y escrito usando los grupos de homología, esto es
Para establecer lo que los dos -los términos son, escribir , y desde , etc., tenemos: y así, desde ,
Esta es la secuencia exacta
Juntando todos los cálculos, se obtiene: [3]
(La secuencia de Gysin se obtiene de manera similar).
Términos de bajo grado
Con un cambio de notación obvio, el tipo de cálculos de los ejemplos anteriores también se puede realizar para la secuencia espectral cohomológica. Dejarser una secuencia espectral del primer cuadrante que converge a H con la filtración decreciente
así que eso Desde es cero si p o q es negativo, tenemos:
Desde por la misma razón y desde
- .
Desde , . Apilando las secuencias juntas, obtenemos la llamada secuencia exacta de cinco términos :
Mapas de bordes y transgresiones
Secuencias espectrales homológicas
Dejar ser una secuencia espectral. Sipara todo q <0, entonces debe ser que: para r ≥ 2,
ya que el denominador es cero. Por tanto, hay una secuencia de monomorfismos:
- .
Se llaman mapas de bordes. Del mismo modo, sipara cada p <0, entonces hay una secuencia de epimorfismos (también llamados mapas de bordes):
- .
La transgresión es un mapa parcialmente definido (más precisamente, un mapa de un subobjeto a un cociente )
dado como una composición , siendo el primer y último mapa los inversos de los mapas de borde. [4]
Secuencias espectrales cohomológicas
Para una secuencia espectral de tipo cohomológico, los enunciados análogos son válidos. Sipara cada q <0, entonces hay una secuencia de epimorfismos
- .
Y si para cada p <0, entonces hay una secuencia de monomorfismos:
- .
La transgresión es un mapa no necesariamente bien definido:
Inducido por .
Solicitud
La determinación de estos mapas es fundamental para calcular muchos diferenciales en la secuencia espectral de Serre . Por ejemplo, el mapa de transgresión determina el diferencial [5] pg 540,564
para la secuencia espectral espectral homológica, por lo tanto, en la secuencia espectral de Serre para una fibración da el mapa
Estructura multiplicativa
Un producto de copa da una estructura de anillo a un grupo de cohomología, convirtiéndolo en un anillo de cohomología . Por lo tanto, es natural considerar también una secuencia espectral con una estructura de anillo. Dejarser una secuencia espectral de tipo cohomológico. Decimos que tiene estructura multiplicativa si (i)son álgebras diferenciales graduadas (doblemente graduadas) y (ii) la multiplicación en es inducido por eso en vía pasaje a la cohomología.
Un ejemplo típico es la secuencia espectral cohomológica de Serre para una fibración., Cuando el grupo de coeficientes es un anillo R . Tiene la estructura multiplicativa inducida por los productos de taza de fibra y se basa en la-página. [6] Sin embargo, en general, el término limitanteno es isomorfo como un álgebra graduada de H ( E ; R ). [7] La estructura multiplicativa puede ser muy útil para calcular diferenciales en la secuencia. [8]
Construcciones de secuencias espectrales
Las secuencias espectrales se pueden construir de varias formas. En topología algebraica, un par exacto es quizás la herramienta más común para la construcción. En geometría algebraica, las secuencias espectrales generalmente se construyen a partir de filtraciones de complejos de cocadenas.
Parejas exactas
La técnica más poderosa para la construcción de secuencias espectrales es el método de parejas exactas de William Massey . Las parejas exactas son particularmente comunes en la topología algebraica, donde hay muchas secuencias espectrales para las que no se conoce ninguna otra construcción. De hecho, todas las secuencias espectrales conocidas se pueden construir utilizando pares exactos. [ cita requerida ] A pesar de esto, son impopulares en el álgebra abstracta, donde la mayoría de las secuencias espectrales provienen de complejos filtrados. Para definir parejas exactas, comenzamos de nuevo con una categoría abeliana. Como antes, en la práctica, esta suele ser la categoría de módulos doblemente graduados sobre un anillo. Una pareja exacta es un par de objetos A y C , junto con tres homomorfismos entre estos objetos: f : A → A , g : A → C y h : C → A sujeto a ciertas condiciones de exactitud:
- Imagen f = Kernel g
- Imagen g = Kernel h
- Imagen h = Kernel f
Abreviaremos estos datos por ( A , C , f , g , h ). Las parejas exactas generalmente se representan como triángulos. Veremos que C corresponde al término E 0 de la secuencia espectral y que A son unos datos auxiliares.
Para pasar a la siguiente hoja de la secuencia espectral, formaremos la pareja derivada . Establecimos:
- d = g o h
- A ' = f ( A )
- C ' = Ker d / Im d
- f ' = f | A ' , la restricción de f a A'
- h ' : C' → A ' es inducida por h . Es sencillo ver que h induce tal mapa.
- g ' : A' → C ' se define en los elementos de la siguiente manera: Para cada una en A' , escribir una como f ( b ) por alguna b en A . g ' ( a ) se define como la imagen de g ( b ) en C' . En general, g ' se puede construir usando uno de los teoremas de incrustación para categorías abelianas.
A partir de aquí, es sencillo comprobar que ( A ' , C' , f ' , g' , h ' ) es una pareja exacta. C ' corresponde al término E 1 de la secuencia espectral. Podemos iterar este procedimiento para obtener parejas exactas ( A ( n ) , C ( n ) , f ( n ) , g ( n ) , h ( n ) ). Dejamos que E n sea C ( n ) y d n sea g ( n ) o h ( n ) . Esto da una secuencia espectral.
Secuencias espectrales construidas con este método
- Secuencia espectral de Serre [9] : se utiliza para calcular (co) homología de una fibración
- Secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch : se utiliza para calcular (co) homología de teorías de cohomología extraordinarias, como la teoría K
- Secuencia espectral de Bockstein .
- Secuencias espectrales de complejos filtrados
La secuencia espectral de un complejo filtrado
Un tipo muy común de secuencia espectral proviene de un complejo cocadena filtrado . Este es un complejo cocadena C • junto con un conjunto de subcomplejos F p C • , donde p varía entre todos los números enteros. (En la práctica, p suele estar acotado en un lado). Requerimos que el mapa de límites sea compatible con la filtración; esto significa que d ( F p C n ) ⊆ F p C n +1 . Suponemos que la filtración es descendente , es decir, F p C • ⊇ F p +1 C • . Numeraremos los términos del complejo cocadena por n . Posteriormente, asumiremos también que la filtración es de Hausdorff o separada , es decir, la intersección del conjunto de todos F p C • es cero, y que la filtración es exhaustiva , es decir, la unión del conjunto de todos F p C • es el complejo de cadena completo C • .
La filtración es útil porque da una medida de proximidad a cero: a medida que p aumenta, F p C • se acerca cada vez más a cero. Construiremos una secuencia espectral a partir de esta filtración donde los co-límites y los ciclos en hojas posteriores se acercan cada vez más a los co-límites y los ciclos en el complejo original. Esta secuencia espectral está doblemente graduada por el grado de filtración py el grado complementario q = n - p . (El grado complementario es a menudo un índice más conveniente que el grado total n . Por ejemplo, esto es cierto para la secuencia espectral de un complejo doble, que se explica a continuación).
Construiremos esta secuencia espectral a mano. C • tiene una única clasificación y una filtración, por lo que primero construimos un objeto doblemente clasificado a partir de C • . Para obtener la segunda calificación, tomaremos el objeto calificado asociado con respecto a la filtración. Lo escribiremos de una manera inusual que se justificará en el paso E 1 :
Dado que asumimos que el mapa de límites era compatible con la filtración, E 0 es un objeto doblemente graduado y hay un mapa de límites natural doblemente graduado d 0 en E 0 . Para obtener E 1 , tomamos la homología de E 0 .
Darse cuenta de y se puede escribir como las imágenes en de
y que luego tenemos
es exactamente lo que el diferencial empuja hacia arriba un nivel en la filtración, y es exactamente la imagen del material que el diferencial eleva a cero niveles en la filtración. Esto sugiere que deberíamos elegirser el material que el diferencial empuja hacia arriba r niveles en la filtración yser imagen del material que el diferencial eleva los niveles de r-1 en la filtración. En otras palabras, la secuencia espectral debe satisfacer
y deberíamos tener la relación
Para que esto tenga sentido, debemos encontrar un diferencial d r en cada E r y verificar que conduce a una homología isomorfa con E r +1 . El diferencial
se define restringiendo el diferencial original d definido en al subobjeto .
Es sencillo comprobar que la homología de E r con respecto a este diferencial es E r +1 , por lo que esto da una secuencia espectral. Desafortunadamente, el diferencial no es muy explícito. Determinar los diferenciales o encontrar formas de evitarlos es uno de los principales desafíos para aplicar con éxito una secuencia espectral.
Aplicaciones
- Puede usarse para construir estructuras mixtas de Hodge [10]
Secuencias espectrales construidas con complejos filtrados
- Secuencia espectral de Hodge-de Rham
- Secuencia espectral de un complejo doble
La secuencia espectral de un doble complejo
Otra secuencia espectral común es la secuencia espectral de un complejo doble. Un complejo doble es una colección de objetos C i, j para todos los enteros i y j junto con dos diferenciales, d I y d II . Se supone que d I disminuye i , y que d II disminuye j . Además, asumimos que los diferenciales anticonmutan , de modo que d I d II + d II d I = 0. Nuestro objetivo es comparar las homologías iteradas y . Haremos esto filtrando nuestro doble complejo de dos formas diferentes. Aquí están nuestras filtraciones:
Para obtener una secuencia espectral, reduciremos al ejemplo anterior. Definimos el complejo total de T ( C •, • ) para ser el complejo cuyo n -ésimo término esy cuyo diferencial es d I + d II . Esto es un complejo porque d I y d II son diferenciales anticonmutación. Las dos filtraciones sobre C i, j dan dos filtraciones sobre el complejo total:
Para mostrar que estas secuencias espectrales dan información sobre las homologías iteradas, calcularemos los términos E 0 , E 1 y E 2 de la filtración I en T ( C •, • ). El término E 0 es claro:
donde n = p + q .
Para encontrar el término E 1 , necesitamos determinar d I + d II en E 0 . Observe que la diferencial debe tener grado -1 con respecto a n , por lo que obtenemos un mapa
En consecuencia, el diferencial en E 0 es el mapa C p , q → C p , q −1 inducido por d I + d II . Pero d me ha equivocado el grado de inducir tal un mapa, así d I debe ser cero en E 0 . Eso significa que el diferencial es exactamente d II , por lo que obtenemos
Para encontrar E 2 , necesitamos determinar
Debido a que E 1 era exactamente la homología con respecto a d II , d II es cero en E 1 . En consecuencia, obtenemos
El uso de la otra filtración nos da una secuencia espectral diferente con un término E 2 similar :
Lo que queda es encontrar una relación entre estas dos secuencias espectrales. Resultará que a medida que r aumenta, las dos secuencias se volverán lo suficientemente similares como para permitir comparaciones útiles.
Convergencia, degeneración y pilar
En el ejemplo elemental con el que comenzamos, las hojas de la secuencia espectral eran constantes una vez que r era al menos 1. En esa configuración tiene sentido tomar el límite de la secuencia de hojas: dado que no sucede nada después de la hoja cero, el límite la hoja E ∞ es la misma que E 1 .
En situaciones más generales, las hojas de limitación a menudo existen y siempre son interesantes. Son uno de los aspectos más poderosos de las secuencias espectrales. Decimos que una secuencia espectral converge o linda con si hay una r ( p , q ) tal que para todo r ≥ r ( p , q ), los diferenciales y son cero. Esto fuerza ser isomorfo a para grandes r . En símbolos, escribimos:
La p indica el índice de filtración. Es muy común escribir el término en el lado izquierdo del pilar, porque es el término más útil de la mayoría de las secuencias espectrales.
En la mayoría de las secuencias espectrales, el El término no es, naturalmente, un objeto doblemente graduado. En cambio, generalmente hay términos que vienen con una filtración natural . En estos casos, establecemos. Definimos la convergencia de la misma manera que antes, pero escribimos
en el sentido de que siempre que p + q = n , converge a .
La situación más simple en la que podemos determinar la convergencia es cuando las secuencias espectrales degeneran. Decimos que las secuencias espectrales degeneran en la hoja r si, para cualquier s ≥ r , el diferencial d s es cero. Esto implica que E r ≅ E r +1 ≅ E r +2 ≅ ... En particular, implica que E r es isomorfo a E ∞ . Esto es lo que sucedió en nuestro primer ejemplo trivial de un complejo de cadena sin filtrar: la secuencia espectral degeneró en la primera hoja. En general, si una secuencia espectral doblemente graduada es cero fuera de una franja horizontal o vertical, la secuencia espectral se degenerará, porque los diferenciales posteriores siempre irán hacia o desde un objeto que no está en la franja.
La secuencia espectral también converge si desaparece para todo p menor que algún p 0 y para todo q menor que algún q 0 . Si p 0 y q 0 pueden elegirse como cero, esto se denomina secuencia espectral del primer cuadrante . Esta secuencia converge porque cada objeto está a una distancia fija del borde de la región distinta de cero. En consecuencia, para un fijo p y q , el diferencial en las hojas posteriores mapas siempredesde o hacia el objeto cero; más visualmente, el diferencial abandona el cuadrante donde los términos son distintos de cero. Sin embargo, no es necesario que la secuencia espectral se degenere, ya que es posible que los mapas diferenciales no sean todos cero a la vez. De manera similar, la secuencia espectral también converge sidesaparece para todo p mayor que algún p 0 y para todo q mayor que algún q 0 .
La secuencia exacta de cinco términos de una secuencia espectral relaciona ciertos términos de bajo grado y términos E ∞ .
Véase también Boardman, Secuencias espectrales condicionalmente convergentes .
Ejemplos de degeneración
La secuencia espectral de un complejo filtrado, continuó
Observe que tenemos una cadena de inclusiones:
Podemos preguntarnos qué pasa si definimos
es un candidato natural para el apoyo de esta secuencia espectral. La convergencia no es automática, pero ocurre en muchos casos. En particular, si la filtración es finita y consta exactamente de r pasos no triviales, entonces la secuencia espectral degenera después de la r- ésima hoja. La convergencia también ocurre si el complejo y la filtración están delimitados por debajo o por arriba.
Para describir el pilar de nuestra secuencia espectral con más detalle, observe que tenemos las fórmulas:
Para ver lo que esto implica para Recordemos que asumimos que la filtración estaba separada. Esto implica que a medida que aumenta r , los granos se encogen, hasta que nos quedamos con. Para, recordemos que asumimos que la filtración era exhaustiva. Esto implica que a medida que aumenta r , las imágenes crecen hasta llegar a. Concluimos
- ,
es decir, el pilar de la secuencia espectral es el p ésimo clasifica parte de la (p + q) º homología de C . Si nuestra secuencia espectral converge, concluimos que:
Secuencias largas y exactas
Usando la secuencia espectral de un complejo filtrado, podemos derivar la existencia de largas secuencias exactas . Elija una breve secuencia exacta de complejos cocadenas 0 → A • → B • → C • → 0, y llame al primer mapa f • : A • → B • . Obtenemos mapas naturales de objetos de homología H n ( A • ) → H n ( B • ) → H n ( C • ), y sabemos que esto es exacto en el medio. Usaremos la secuencia espectral de un complejo filtrado para encontrar el homomorfismo de conexión y para demostrar que la secuencia resultante es exacta. Para empezar, filtramos B • :
Esto da:
El diferencial tiene bidegree (1, 0), entonces d 0, q : H q ( C • ) → H q +1 ( A • ). Estos son los homomorfismos de conexión del lema de la serpiente , y junto con los mapas A • → B • → C • , dan una secuencia:
Queda por demostrar que esta secuencia es exacta en los puntos A y C. Observe que esta secuencia espectral degenera en el término E 2 porque los diferenciales tienen bidegree (2, −1). En consecuencia, el término E 2 es el mismo que el término E ∞ :
Pero también tenemos una descripción directa del término E 2 como la homología del término E 1 . Estas dos descripciones deben ser isomorfas:
El primero da exactitud en el punto C y el segundo da exactitud en el punto A.
La secuencia espectral de un doble complejo, continuó
Usando el pilar para un complejo filtrado, encontramos que:
En general, las dos graduaciones en H p + q (T (C •, • )) son distintas . A pesar de esto, todavía es posible obtener información útil de estas dos secuencias espectrales.
Conmutatividad de Tor
Sea R un anillo, sea M un módulo R derecho y N un módulo R izquierdo . Recuerde que los functores derivados del producto tensorial se denominan Tor . Tor se define usando una resolución proyectiva de su primer argumento. Sin embargo, resulta que. Si bien esto se puede verificar sin una secuencia espectral, es muy fácil con secuencias espectrales.
Elija resoluciones proyectivas y de M y N , respectivamente. Considere estos como complejos que desaparecen en los diferenciales negativos de grado que tiene d y e , respectivamente. Podemos construir un complejo doble cuyos términos son y cuyos diferenciales son y . (El factor de -1 es de modo que los diferenciales anticonmutan.) Dado que los módulos proyectivos son planos, tomar el producto tensorial con un módulo proyectivo conmuta con tomar homología, por lo que obtenemos:
Dado que los dos complejos son resoluciones, su homología desaparece fuera del grado cero. En grado cero, nos quedamos con
En particular, el los términos desaparecen excepto a lo largo de las líneas q = 0 (para la secuencia espectral I ) yp = 0 (para la secuencia espectral II ). Esto implica que la secuencia espectral degenera en la segunda hoja, por lo que los términos E ∞ son isomorfos a los términos E 2 :
Finalmente, cuando p y q son iguales, los dos lados derechos son iguales, y la conmutatividad de Tor sigue.
Más ejemplos
Algunas secuencias espectrales notables son:
Topología y geometría
- Secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch de una teoría de cohomología extraordinaria
- Secuencia espectral de barras para la homología del espacio de clasificación de un grupo.
- Secuencia espectral de Bockstein que relaciona la homología con los coeficientes mod p y la homología reducida mod p .
- Secuencia espectral de Cartan-Leray que converge a la homología de un espacio cociente.
- Secuencia espectral de Eilenberg-Moore para la cohomología singular del retroceso de una fibración
- Secuencia espectral de Serre de una fibración
Teoría de la homotopía
- Secuencia espectral de Adams en la teoría de la homotopía estable
- Secuencia espectral Adams-Novikov , una generalización de las teorías de cohomología extraordinarias .
- Secuencia espectral de Barratt que converge a la homotopía del espacio inicial de una cofibración.
- Secuencia espectral de Bousfield-Kan que converge al colimit de homotopía de un funtor.
- Secuencia espectral cromática para calcular los términos iniciales de la secuencia espectral Adams-Novikov .
- Secuencia espectral cobar
- Secuencia espectral EHP que converge a grupos de esferas de homotopía estables
- Secuencia espectral de Federer que converge a grupos de homotopía de un espacio funcional.
- Secuencia espectral de punto fijo de homotopía [11]
- Secuencia espectral de Hurewicz para calcular la homología de un espacio a partir de su homotopía.
- Secuencia espectral de Miller que converge con la homología estable mod p de un espacio.
- La secuencia espectral de Milnor es otro nombre para la secuencia espectral de barras .
- La secuencia espectral de Moore es otro nombre para la secuencia espectral de barras .
- Secuencia espectral de Quillen para calcular la homotopía de un grupo simplicial.
- La secuencia espectral de Rothenberg-Steenrod es otro nombre para la secuencia espectral de barras .
- Secuencia espectral de van Kampen para calcular la homotopía de una cuña de espacios.
Álgebra
- Secuencia espectral del functor derivado de Čech de la cohomología Čech a la cohomología de la gavilla .
- Cambio de secuencias espectrales de anillos para el cálculo de grupos de módulos Tor y Ext.
- Secuencias espectrales de Connes que convergen a la homología cíclica de un álgebra.
- Secuencia espectral de Gersten-Witt
- Secuencia espectral de Green para la cohomología de Koszul
- Secuencia espectral de Grothendieck para componer functores derivados
- Secuencia espectral de hiperhomología para el cálculo de hiperhomología.
- Secuencia espectral de Künneth para calcular la homología de un producto tensorial de álgebras diferenciales.
- Secuencia espectral de Leray que converge a la cohomología de una gavilla.
- Secuencia espectral externa local a global
- Secuencia espectral de Lyndon-Hochschild-Serre en (co) homología de grupo
- Puede secuencia espectral para calcular los grupos Tor o Ext de un álgebra.
- Secuencia espectral de un grupo filtrado diferencial: descrito en este artículo.
- Secuencia espectral de un doble complejo: descrita en este artículo.
- Secuencia espectral de una pareja exacta: descrita en este artículo.
- Secuencia espectral de coeficiente universal
- Secuencia espectral de van Est que converge con la cohomología relativa del álgebra de Lie.
Geometría compleja y algebraica
- Secuencia espectral de Arnold en la teoría de la singularidad .
- Secuencia espectral de Bloch-Lichtenbaum que converge con la teoría K algebraica de un campo.
- Secuencia espectral de Frölicher a partir de la cohomología de Dolbeault y convergiendo a la cohomología algebraica de Rham de una variedad.
- Secuencia espectral de Hodge-de Rham que converge con la cohomología algebraica de Rham de una variedad.
- Secuencia espectral de motivación a teoría K
Notas
- ^ Weibel 1994 , ejercicio 5.2.1 .; hay errores tipográficos en la secuencia exacta, al menos en la edición de 1994.
- ^ Weibel 1994 , ejercicio 5.2.2.
- ^ Weibel 1994 , aplicación 5.3.5.
- ^ Mayo , § 1 error de harvnb: múltiples objetivos (2 ×): CITEREFMay ( ayuda )
- ^ Hatcher, Allen. "Secuencias espectrales en topología algebraica" (PDF) .
- ^ J. McCleary: una guía para usuarios de secuencias espectrales
- ^ Hatcher , ejemplo 1.17. error de harvnb: varios objetivos (2 ×): CITEREFHatcher ( ayuda )
- ^ Hatcher , ejemplo 1.18. error de harvnb: varios objetivos (2 ×): CITEREFHatcher ( ayuda )
- ^ Mayo. "Una introducción a las secuencias espectrales" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 21 de junio de 2020 . Consultado el 21 de junio de 2020 .
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- ^ Robert R. Bruner, John Rognes, "Diferenciales en la secuencia espectral de punto fijo de homotopía homológica" Archivado el 6 de febrero de 2018 en la Wayback Machine.
Referencias
Introductorio
- Fomenko, Anatoly; Fuchs, Dmitry, topología homotópica
- Hatcher, Allen, Secuencias espectrales en topología algebraica (PDF)
Referencias
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- Leray, Jean (1946), "Structure de l'anneau d'homologie d'une représentation", Les Comptes rendus de l'Académie des sciences , 222 : 1419-1422
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Otras lecturas
- Chow, Timothy Y. (2006). "Podrías haber inventado secuencias espectrales" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 53 : 15-19.
enlaces externos
- "¿Qué tienen de" espectral "las secuencias espectrales? . MathOverflow .
- "SpectralSequences - un paquete para trabajar con complejos filtrados y secuencias espectrales" . Macaulay2 .