En matemáticas , la topología plana es una topología de Grothendieck utilizada en geometría algebraica . Se utiliza para definir la teoría de la cohomología plana ; también juega un papel fundamental en la teoría del descenso ( descenso fielmente plano). [1] El término plano aquí proviene de módulos planos .
Hay varias topologías planas ligeramente diferentes, las más comunes de las cuales son la topología fppf y la topología fpqc . fppf significa fidèlement plate de présentation finie , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de cobertura si es fielmente plano y de presentación finita. fpqc significa fidèlement plate et quasi-compacte , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de cobertura si es fielmente plano. En ambas categorías, una familia de cobertura se define como una familia que es una cobertura en subconjuntos abiertos de Zariski. [2] En la topología fpqc, cualquier morfismo fielmente plano y cuasi compacto es una tapadera. [3] Estas topologías están estrechamente relacionadas con la descendencia . La topología "pura" fielmente plana sin ninguna condición adicional de finitud, como cuasi compactibilidad o presentación finita, no se usa mucho, ya que no es subcanónica; en otras palabras, los functores representables no necesitan ser gavillas.
Desafortunadamente, la terminología para topologías planas no está estandarizada. Algunos autores usan el término "topología" para una pretopología, y hay varias pretopologías ligeramente diferentes a veces llamadas fppf o fpqc (pre) topología, que a veces dan la misma topología.
Sea X un esquema afín . Definimos una cobertura fppf de X como una familia de morfismos finita y conjuntamente sobreyectiva
con cada X un afín y cada φ un plano , finamente presentado . Esto genera una pretopología : para X arbitrario, definimos una cobertura fppf de X como una familia
que es una cubierta fppf después de base de cambiar a un subesquema afín abierto de X . Esta pretopología genera una topología llamada topología fppf . (Esto no es lo mismo que la topología que se pueden conseguir si comenzamos con arbitraria X y X una y tomamos cubriendo las familias a ser familias de manera conjunta suprayectivos de piso, finitamente presentado morfismos.) Escribimos Fppf para la categoría de esquemas con la topología fppf .