En topología general , un espacio pretopológico es una generalización del concepto de espacio topológico. Un espacio pretopológico se puede definir en términos de filtros o de un operador de cierre previo . La noción similar, pero más abstracta, de una pretopología de Grothendieck se utiliza para formar una topología de Grothendieck , y se trata en el artículo sobre ese tema.
Sea X un conjunto. Un sistema de vecindad para una pretopología en X es una colección de filtros N ( x ), uno para cada elemento x de X , de manera que cada conjunto en N ( x ) contiene x como miembro. Cada elemento de N ( x ) se llama vecindad de x . Un espacio pretopológico es entonces un conjunto equipado con tal sistema de vecindad.
Una red x α converge a un punto x en X si x α está eventualmente en cada vecindario de x .
Un espacio pretopológico también se puede definir como ( X , cl ), un conjunto X con un operador de precierre ( operador de cierre Čech ) cl . Las dos definiciones se pueden mostrar para ser equivalente como sigue: definir el cierre de un conjunto S en X como el conjunto de todos los puntos x de tal manera que algunos red que converge a x es el tiempo en S . Entonces se puede demostrar que ese operador de cierre satisface los axiomas de un operador de precierre. Por el contrario, dejar que un conjunto S sea una vecindad de x si x no está en el cierre del complemento de S . Se puede demostrar que el conjunto de todos estos vecindarios es un sistema de vecindario para una pretopología.
Un espacio pretopológico es un espacio topológico cuando su operador de cierre es idempotente .
Un mapa f : ( X , cl ) → ( Y , cl ' ) entre dos espacios pretopológicos es continuo si satisface para todos los subconjuntos A de X :
- f ( cl ( A )) ⊆ cl ' ( f ( A )).
Referencias
- E. Čech, Espacios topológicos , John Wiley and Sons, 1966.
- D. Dikranjan y W. Tholen, Estructura categórica de los operadores de cierre , Kluwer Academic Publishers, 1995.
- S. MacLane, I. Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic , Springer Verlag, 1992.
enlaces externos
- Espacios de recombinación, métricas y pretopologías BMR Stadler, PF Stadler, M. Shpak. Y GP Wagner. (Ver en particular el Apéndice A.)
- Conjuntos cerrados y cierres en Pretopología M. Dalud-Vincent, M. Brissaud y M Lamure. 2009.