En matemáticas , la topología plana es una topología de Grothendieck utilizada en geometría algebraica . Se utiliza para definir la teoría de la cohomología plana ; también juega un papel fundamental en la teoría del descenso (descenso fielmente plano). [1] El término plano proviene aquí de módulos planos .
Hay varias topologías planas ligeramente diferentes, las más comunes son la topología fppf y la topología fpqc . fppf significa fidèlement plate de présentation finie , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de cobertura si es fielmente plano y de presentación finita. fpqc significa fidèlement plate et quasi-compacte , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de cobertura si es fielmente plano. En ambas categorías, una familia de cobertura se define como una familia que es una cobertura de los subconjuntos abiertos de Zariski. [2] En la topología fpqc, cualquier morfismo fielmente plano y casi compacto es una cubierta. [3] Estas topologías están estrechamente relacionadas con el descenso . La topología fielmente plana "pura" sin más condiciones de finitud, como cuasi compacidad o presentación finita, no se usa mucho, ya que no es subcanónica; en otras palabras, los funtores representables no necesitan ser haces.
Lamentablemente, la terminología de las topologías planas no está estandarizada. Algunos autores usan el término "topología" para una pretopología, y hay varias pretopologías ligeramente diferentes a veces llamadas fppf o fpqc (pre) topología, que a veces dan la misma topología.
Sea X un esquema afín . Definimos una cubierta fppf de X como una familia de morfismos finita y conjuntamente sobreyectiva
con cada X un afín y cada φ un plano , finitamente presentado . Esto genera una pretopología : para X arbitraria, definimos una cubierta fppf de X para que sea una familia
que es una cubierta fppf después de que la base cambie a un subesquema afín abierto de X . Esta pretopología genera una topología denominada topología fppf . (Esto no es lo mismo que la topología que obtendríamos si comenzáramos con X y X a arbitrarios y tomáramos las familias de cobertura como familias sobreyectivas conjuntas de morfismos planos presentados finitamente). Escribimos Fppf para la categoría de esquemas con la topología fppf .