En lógica matemática , un cálculo formal es un cálculo sistemático, pero sin una justificación rigurosa . Esto significa que estamos manipulando los símbolos en una expresión usando una sustitución genérica, sin probar que se cumplen las condiciones necesarias. Esencialmente, nos interesa la forma de una expresión y no necesariamente su significado subyacente. Este razonamiento puede servir como evidencia positiva de que alguna afirmación es verdadera, cuando es difícil o innecesario proporcionar una prueba, o como inspiración para la creación de nuevas definiciones (completamente rigurosas).
Sin embargo, esta interpretación del término formal no es universalmente aceptada, y algunos consideran que significa todo lo contrario: un argumento completamente riguroso, como en la lógica matemática formal .
Ejemplos de
Ejemplos sencillos
Los cálculos formales pueden conducir a resultados incorrectos en un contexto, pero correctos en otro contexto. La ecuacion
se cumple si q tiene un valor absoluto menor que 1. Ignorar esta restricción y sustituir q = 2 por conduce a
Sustituyendo q = 2 en la prueba de la primera ecuación, se obtiene un cálculo formal que produce la última ecuación. Pero está mal con los números reales, ya que la serie no converge. Sin embargo, hay otros contextos (por ejemplo, trabajar con números 2-ádicos , o con números enteros módulo una potencia de 2 ), donde la serie converge. El cálculo formal implica que la última ecuación debe ser válida en esos contextos.
Otro ejemplo se obtiene sustituyendo q = -1. La serie resultante 1-1 + 1-1 + ... es divergente (sobre los números reales y p-ádicos ) pero aún se le puede asignar un valor con métodos alternativos de suma, como la suma Cesàro . El valor resultante, 1/2, es el mismo que se obtiene mediante el cálculo formal.
Serie de poder formal
La serie de potencias formales es un concepto que adopta la forma de series de potencias del análisis real . La palabra "formal" indica que no se requiere que la serie converja.
Manipulación de símbolos
Supongamos que queremos resolver la ecuación diferencial
Tratando estos símbolos como algebraicos ordinarios, y sin dar ninguna justificación con respecto a la validez de este paso, tomamos recíprocos de ambos lados:
Ahora tomamos una antiderivada simple :
Como se trata de un cálculo formal , también podemos permitirnos y obtén otra solución:
Si tenemos alguna duda sobre nuestro argumento, siempre podemos verificar las soluciones finales para confirmar que resuelven la ecuación.
Ver también
Referencias
- Stuart S. Antman (1995). Problemas no lineales de elasticidad, Ciencias Matemáticas Aplicadas vol. 107 . Springer-Verlag. ISBN 0-387-20880-1.