En matemáticas , en particular en teoría de campos y álgebra real , un campo formalmente real es un campo que puede equiparse con una ordenación (no necesariamente única) que lo convierte en un campo ordenado .
La definición dada arriba no es una definición de primer orden , ya que requiere cuantificadores sobre conjuntos . Sin embargo, los siguientes criterios se pueden codificar como (infinitas) oraciones de primer orden en el lenguaje de los campos y son equivalentes a la definición anterior.
Un campo formalmente real F es un campo que también satisface una de las siguientes propiedades equivalentes: [1] [2]
Es fácil ver que estas tres propiedades son equivalentes. También es fácil ver que un campo que admite una ordenación debe satisfacer estas tres propiedades.
Una prueba de que si F satisface estas tres propiedades, entonces F admite una ordenación utiliza la noción de conos prepositivos y conos positivos. Supongamos que -1 no es una suma de cuadrados, entonces un argumento del lema de Zorn muestra que el cono prepositivo de sumas de cuadrados se puede extender a un cono positivo P ⊂ F . Uno usa este cono positivo para definir una ordenación: a ≤ b si y solo si b − a pertenece a P .
Un campo formalmente real sin extensión algebraica propia formalmente real es un campo cerrado real . [3] Si K es formalmente real y Ω es un campo cerrado algebraicamente que contiene K , entonces hay un subcampo cerrado real de Ω que contiene K . Un campo cerrado real se puede ordenar de forma única, [3] y los elementos no negativos son exactamente los cuadrados.