En matemáticas , un campo ordenado es un campo junto con un orden total de sus elementos que es compatible con las operaciones de campo. El ejemplo básico de un campo ordenado es el campo de números reales , y cada campo ordenado completo de Dedekind es isomorfo a los reales.
Cada subcampo de un campo ordenado es también un campo ordenado en el orden heredado. Cada campo ordenado contiene un subcampo ordenado que es isomorfo a los números racionales . Los cuadrados son necesariamente no negativos en un campo ordenado. Esto implica que los números complejos no se pueden ordenar ya que el cuadrado de la unidad imaginaria i es -1 . Los campos finitos no se pueden ordenar.
Históricamente, la axiomatización de un campo ordenado fue abstraída gradualmente de los números reales por matemáticos como David Hilbert , Otto Hölder y Hans Hahn . Esto finalmente se convirtió en la teoría de Artin-Schreier de campos ordenados y campos formalmente reales .
Definiciones
Hay dos definiciones comunes equivalentes de un campo ordenado. La definición de orden total apareció por primera vez históricamente y es una axiomatización de primer orden del ordenamiento ≤ como predicado binario . Artin y Schreier dieron la definición en términos de cono positivo en 1926, que axiomatiza la subcolección de elementos no negativos. Aunque este último es de orden superior, ver los conos positivos como conos prepositivos máximos proporciona un contexto más amplio en el que los ordenamientos de campo son ordenamientos parciales extremos .
Orden total
Un campo ( F , +, ⋅) junto con un (estricto) orden total
- si a < b entonces a + c < b + c , y
- si 0 < a y 0 < b entonces 0 < a ⋅ b .
Cono positivo
Un cono prepositivo o preordenar un campo F es un subconjunto P ⊂ F que tiene las siguientes propiedades: [1]
- Para x y y en P , tanto x + y y x ⋅ y están en P .
- Si x está en F , entonces x 2 está en P . En particular, 1 2 = 1 ∈ P .
- El elemento -1 no está en P .
Un campo reservado es un campo equipado con una P de pedido anticipado . Su no-cero elementos P * forman un subgrupo del grupo multiplicativo de F .
Si, además, el conjunto F es la unión de P y - P , que llamamos P un cono positivo de F . Los no-cero elementos de P son llamados los positivos elementos de F .
Un campo ordenado es un campo F junto con un cono positivo P .
Los preorderings en F son precisamente las intersecciones de las familias de los conos positivos en F . Los conos positivos son los pedidos anticipados máximos. [1]
Equivalencia de las dos definiciones
Sea F un campo. Hay una biyección entre los ordenamientos de campo de F y los conos positivos de F .
Dado un pedido campo ≤ como en la primera definición, el conjunto de elementos de tal manera que x ≥ 0 forma un cono positivo de F . A la inversa, dado un cono positivo P de F como en el segundo definición, se puede asociar un ordenamiento ≤ total de P en F por el ajuste x ≤ P y a media y - x ∈ P . Este orden total ≤ P satisface las propiedades de la primera definición.
Ejemplos de campos ordenados
Ejemplos de campos ordenados son:
- los números racionales
- los números reales
- cualquier subcampo de un campo ordenado, como los números algebraicos reales o los números computables
- el campo de las funciones racionales reales , dónde y son polinomios con coeficientes reales,, se puede convertir en un campo ordenado donde el polinomio es mayor que cualquier polinomio constante, definiendo que cuando sea , por y . Este campo ordenado no es de Arquímedes .
- El campo de la serie formal de Laurent con coeficientes reales, donde x se toma como infinitesimal y positivo
- las transseries
- campos cerrados reales
- los números superreales
- los números hiperrealistas
Los números surrealistas forman una clase adecuada en lugar de un conjunto , pero por lo demás obedecen a los axiomas de un campo ordenado. Cada campo ordenado se puede incrustar en los números surrealistas.
Propiedades de los campos ordenados
Para cada a , b , c , d en F :
- Ya sea - a ≤ 0 ≤ a o a ≤ 0 ≤ - a .
- Uno puede "añadir desigualdades": si un ≤ b y c ≤ d , a continuación, un + c ≤ b + d .
- Se pueden "multiplicar desigualdades con elementos positivos": si a ≤ by 0 ≤ c , entonces ac ≤ bc .
- Transitividad de la desigualdad: si un < b y b < c , a continuación, un < c .
- Si un < b y un , b > 0, entonces 1 / b <1 / una .
- Un campo ordenado tiene la característica 0. (Dado que 1> 0, entonces 1 + 1> 0 y 1 + 1 + 1> 0, etc. Si el campo tuviera la característica p > 0, entonces −1 sería la suma de p - 1 unos, pero −1 no es positivo.) En particular, los campos finitos no se pueden ordenar.
- Los cuadrados son no negativo: 0 ≤ un 2 para todos un en F .
- Toda suma de cuadrados no trivial es distinta de cero. Equivalentemente:[2] [3]
Cada subcampo de un campo ordenado es también un campo ordenado (heredando el orden inducido). El subcampo más pequeño es isomorfo a los racionales (como para cualquier otro campo de característica 0), y el orden en este subcampo racional es el mismo que el orden de los racionales mismos. Si cada elemento de un campo ordenado se encuentra entre dos elementos de su subcampo racional, entonces se dice que el campo es de Arquímedes . De lo contrario, dicho campo es un campo ordenado que no es de Arquímedes y contiene infinitesimales . Por ejemplo, los números reales forman un campo de Arquímedes, pero los números hiperreales forman un campo que no es de Arquímedes, porque extiende los números reales con elementos mayores que cualquier número natural estándar . [4]
Un campo ordenado F es isomorfo al campo número real R si cada subconjunto no vacío de F con un límite superior en F tiene un extremo superior en F . Esta propiedad implica que el campo es de Arquímedes.
Espacios vectoriales sobre un campo ordenado
Los espacios vectoriales (particularmente, n -espacios ) sobre un campo ordenado exhiben algunas propiedades especiales y tienen algunas estructuras específicas, a saber: orientación , convexidad y producto interno definido positivamente . Consulte Espacio de coordenadas reales # Propiedades geométricas y usos para la discusión de esas propiedades de R n , que se pueden generalizar a espacios vectoriales sobre otros campos ordenados.
¿Qué campos se pueden ordenar?
Cada campo ordenado es un campo formalmente real , es decir, 0 no se puede escribir como una suma de cuadrados distintos de cero. [2] [3]
Por el contrario, todo campo formalmente real puede equiparse con un orden total compatible, que lo convertirá en un campo ordenado. (No es necesario que este orden se determine de forma única). La demostración utiliza el lema de Zorn . [5]
Los campos finitos y, más generalmente, los campos de característica positiva no se pueden convertir en campos ordenados, porque en la característica p , el elemento −1 se puede escribir como una suma de ( p - 1) cuadrados 1 2 . Los números complejos tampoco se pueden convertir en un campo ordenado, ya que −1 es un cuadrado de la unidad imaginaria i . Además, los números p-ádicos no se pueden ordenar, ya que según el lema de Hensel, Q 2 contiene una raíz cuadrada de −7, por lo que 1 2 +1 2 +1 2 +2 2 + ( √ −7 ) 2 = 0, y Q p ( p > 2) contiene una raíz cuadrada de 1− p , por lo tanto ( p −1) ⋅1 2 + ( √ 1− p ) 2 = 0. [6]
Topología inducida por el orden
Si F está equipado con la topología de orden que surge del orden total ≤, entonces los axiomas garantizan que las operaciones + y × son continuas , de modo que F es un campo topológico .
Topología de Harrison
La topología de Harrison es una topología del conjunto de ordenamientos X F de un campo F formalmente real . Cada orden puede considerarse como un homomorfismo de grupo multiplicativo de F ∗ a ± 1. Dar ± 1 la topología discreta y ± 1 F la topología del producto induce la topología del subespacio en X F . Los sets de Harrison forman una subbase para la topología de Harrison. El producto es un espacio booleano ( compacto , de Hausdorff y totalmente desconectado ), y X F es un subconjunto cerrado, por lo tanto, de nuevo booleano. [7] [8]
Ventiladores y campos superordenados
Un abanico en F es un T de preordenar con la propiedad de que si S es un subgrupo del índice 2 en F ∗ que contiene T - {0} y no contiene −1, entonces S es un ordenamiento (es decir, S está cerrado bajo adición). [9] Un campo superordenado es un campo totalmente real en el que el conjunto de sumas de cuadrados forma un abanico. [10]
Ver también
- Anillo ordenado
- Espacio vectorial ordenado
- Campo de reserva
Notas
- ↑ a b Lam (2005) p. 289
- ↑ a b Lam (2005) p. 41
- ↑ a b Lam (2005) p. 232
- ^ Bair, Jaques; Henry, Valérie. "Diferenciación implícita con microscopios" (PDF) . Universidad de Lieja . Consultado el 4 de mayo de 2013 .
- ^ Lam (2005) p. 236
- ^ Los cuadrados de las raíces cuadradas √ −7 y √ 1− p están en Q , pero son <0, por lo que estas raíces no pueden estar en Q, lo que significa que susexpansiones p -ádicas no son periódicas.
- ^ Lam (2005) p. 271
- ^ Lam (1983) págs. 1-2
- ^ Lam (1983) p. 39
- ^ Lam (1983) p. 45
Referencias
- Lam, TY (1983), Ordenaciones, valoraciones y formas cuadráticas , Serie de conferencias regionales de CBMS en matemáticas, 52 , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0702-1, Zbl 0516.12001
- Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 67 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023 .
- Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001