Para extraer la tasa a plazo, necesitamos la curva de rendimiento de cupón cero .
Estamos tratando de encontrar la tasa de interés futura.
por período de tiempo
,
y
expresado en años , dada la tasa
por período de tiempo
y tasa
por período de tiempo
. Para hacer esto, usamos la propiedad que proviene de la inversión a una tasa
por período de tiempo
y luego reinvertir esos ingresos a una tasa
por período de tiempo
es igual al producto de la inversión a una tasa
por período de tiempo
.
depende del modo de cálculo de la tasa ( simple , compuesto anual o compuesto continuamente ), que produce tres resultados diferentes.
Matemáticamente se lee como sigue:
Tasa simple
![{\displaystyle (1+r_{1}t_{1})(1+r_{1,2}(t_{2}-t_{1}))=1+r_{2}t_{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Resolviendo para
rinde:
Por lo tanto
La fórmula del factor de descuento para el período (0, t)
expresado en años y tasa
por este período siendo
, la tasa a plazo se puede expresar en términos de factores de descuento:
Tasa compuesta anual
![{\displaystyle (1+r_{1})^{t_{1}}(1+r_{1,2})^{t_{2}-t_{1}}=(1+r_{2})^{t_{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Resolviendo para
rinde:
![{\displaystyle r_{1,2}=\left({\frac {(1+r_{2})^{t_{2}}}{(1+r_{1})^{t_{1}}}}\right)^{1/(t_{2}-t_{1})}-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La fórmula del factor de descuento para el período (0, t )
expresado en años y tasa
por este período siendo
, la tasa a plazo se puede expresar en términos de factores de descuento:
![{\displaystyle r_{1,2}=\left({\frac {DF(0,t_{1})}{DF(0,t_{2})}}\right)^{1/(t_{2}-t_{1})}-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tasa continuamente compuesta
- ECUACIÓN →
![{\displaystyle e^{{(r}_{2}\ast t_{2})}=e^{{(r}_{1}\ast t_{1})}\ast \ e^{\left(r_{1,2}\ast \left(t_{2}-t_{1}\right)\right)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Resolviendo para
rinde:
- PASO 1 →
![{\displaystyle e^{{(r}_{2}\ast t_{2})}=e^{{(r}_{1}\ast t_{1})+\left(r_{1,2}\ast \left(t_{2}-t_{1}\right)\right)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- PASO 2 →
![{\displaystyle \ln {\left(e^{{(r}_{2}\ast t_{2})}\right)}=\ln {\left(e^{{(r}_{1}\ast t_{1})+\left(r_{1,2}\ast \left(t_{2}-t_{1}\right)\right)}\right)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- PASO 3 →
![{\displaystyle {(r}_{2}\ast \ t_{2})={(r}_{1}\ast \ t_{1})+\left(r_{1,2}\ast \left(t_{2}-t_{1}\right)\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- PASO 4 →
![{\displaystyle r_{1,2}\ast \left(t_{2}-t_{1}\right)={(r}_{2}\ast \ t_{2})-{(r}_{1}\ast \ t_{1})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- PASO 5 →
![{\displaystyle r_{1,2}={\frac {{(r}_{2}\ast t_{2})-{(r}_{1}\ast t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La fórmula del factor de descuento para el período (0, t )
expresado en años y tasa
por este período siendo
, la tasa a plazo se puede expresar en términos de factores de descuento:
![{\displaystyle r_{1,2}={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}(\ln DF(0,t_{1})-\ln DF(0,t_{2}))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es la tasa de avance entre el tiempo
y tiempo
,
es el rendimiento del cupón cero para el período de tiempo
, ( k = 1,2).