Transformaciones de seno y coseno

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En matemáticas , las transformadas de seno y coseno de Fourier son formas de la transformada integral de Fourier que no utilizan números complejos . Son las formas utilizadas originalmente por Joseph Fourier y todavía se prefieren en algunas aplicaciones, como el procesamiento de señales o las estadísticas . ^[1]

La transformada sinusoidal de Fourier de f ( t ) , a veces denotada por o , es${\ Displaystyle {\ hat {f}} ^ {s}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {s} (f)}$

Si t significa tiempo, entonces ν es la frecuencia en ciclos por unidad de tiempo, pero en abstracto, pueden ser cualquier par de variables que sean duales entre sí.

Los factores numéricos en las transformadas de Fourier se definen únicamente por su producto. Aquí, para que la fórmula de inversión de Fourier no tenga ningún factor numérico, aparece el factor 2 porque la función seno tiene norma L ² de${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}}.}$

La transformada del coseno de Fourier de f ( t ) , a veces denotada por o , es${\ Displaystyle {\ hat {f}} ^ {c}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c} (f)}$

Algunos autores ^[2] solo definen la transformada coseno para funciones pares de t , en cuyo caso su transformada seno es cero. Dado que el coseno también es par, se puede usar una fórmula más simple,

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