La emisión de campo de electrones , también conocida como emisión de campo ( FE ) y emisión de campo de electrones , es la emisión de electrones inducida por un campo electrostático . El contexto más común es la emisión de campo de una superficie sólida al vacío . Sin embargo, la emisión de campo puede tener lugar desde superficies sólidas o líquidas , hacia el vacío, un fluido (por ejemplo, aire ) o cualquier dieléctrico no conductor o débilmente conductor . La promoción inducida por el campo de electrones desde la valencia hasta la banda de conducción deLos semiconductores (el efecto Zener ) también se pueden considerar como una forma de emisión de campo. La terminología es histórica porque los fenómenos relacionados de fotoefecto superficial, emisión termoiónica (o efecto Richardson-Dushman ) y "emisión electrónica fría", es decir, la emisión de electrones en campos eléctricos estáticos fuertes (o cuasiestáticos), se descubrieron y estudiaron independientemente de de la década de 1880 a la de 1930. Cuando la emisión de campo se utiliza sin calificadores, normalmente significa "emisión fría".
La emisión de campo en metales puros se produce en campos eléctricos elevados : los gradientes suelen ser superiores a 1 gigavoltio por metro y dependen en gran medida de la función de trabajo . Si bien las fuentes de electrones basadas en la emisión de campo tienen varias aplicaciones, la emisión de campo suele ser una fuente primaria indeseable de fenómenos de ruptura de vacío y descargas eléctricas , que los ingenieros trabajan para prevenir. Los ejemplos de aplicaciones para la emisión de campo de superficie incluyen la construcción de fuentes de electrones brillantes para microscopios electrónicos de alta resolución o la descarga de cargas inducidas desde naves espaciales . Los dispositivos que eliminan las cargas inducidas se denominan neutralizadores de carga .
La emisión de campo se explica por el efecto túnel cuántico de electrones a finales de la década de 1920. Este fue uno de los triunfos de la naciente mecánica cuántica . La teoría de la emisión de campo de metales a granel fue propuesta por Ralph H. Fowler y Lothar Wolfgang Nordheim . [1] Una familia de ecuaciones aproximadas, las ecuaciones de Fowler-Nordheim , lleva su nombre. Estrictamente, las ecuaciones de Fowler-Nordheim se aplican solo a la emisión de campo de metales a granel y (con la modificación adecuada) a otros sólidos cristalinos a granel , pero a menudo se usan, como una aproximación aproximada, para describir la emisión de campo de otros materiales.
Terminología y convenciones
Emisión de electrones de campo , emisión de electrones inducida por campo , emisión de campo y emisión de campo de electrones son nombres generales para este fenómeno experimental y su teoría. Aquí se utiliza el primer nombre.
La tunelización de Fowler-Nordheim es la tunelización mecánica de ondas de los electrones a través de una barrera triangular redondeada creada en la superficie de un conductor de electrones mediante la aplicación de un campo eléctrico muy alto. Los electrones individuales pueden escapar mediante el túnel de Fowler-Nordheim de muchos materiales en diversas circunstancias diferentes.
Emisión de electrones de campo frío (CFE) es el nombre que se le da a un régimen de emisión estadístico particular, en el que los electrones en el emisor están inicialmente en equilibrio termodinámico interno, y en el que la mayoría de los electrones emitidos escapan por túnel de Fowler-Nordheim desde estados de electrones cercanos al emisor nivel Fermi . (Por el contrario, en elrégimen de emisión de Schottky , la mayoría de los electrones escapan por encima de una barrera de campo reducido, desde estados muy por encima del nivel de Fermi). Muchos materiales sólidos y líquidos pueden emitir electrones en un régimen CFE si un campo eléctrico de un se aplica el tamaño apropiado.
Las ecuaciones de tipo Fowler-Nordheim son una familia de ecuaciones aproximadas derivadas para describir la CFE a partir de los estados internos de los electrones en los metales a granel. Los diferentes miembros de la familia representan diferentes grados de aproximación a la realidad. Las ecuaciones aproximadas son necesarias porque, para modelos físicamente realistas de la barrera de túnel, es matemáticamente imposible en principio resolver la ecuación de Schrödinger exactamente de una manera simple. No hay ninguna razón teórica para creer que las ecuaciones de tipo Fowler-Nordheim describen válidamente la emisión de campo de materiales distintos a los sólidos cristalinos a granel.
Para los metales, el régimen de CFE se extiende muy por encima de la temperatura ambiente. Existen otros regímenes de emisión de electrones (como la " emisión térmica de electrones " y la " emisión Schottky ") que requieren un calentamiento externo significativo del emisor. También existen regímenes de emisión en los que los electrones internos no están en equilibrio termodinámico y la corriente de emisión está determinada, parcial o completamente, por el suministro de electrones a la región emisora. Un proceso de emisión sin equilibrio de este tipo puede denominarse emisión de campo (de electrones) si la mayoría de los electrones escapan por túnel, pero estrictamente no es CFE y no se describe con precisión mediante una ecuación de tipo Fowler-Nordheim.
Es necesario tener cuidado porque en algunos contextos (por ejemplo, ingeniería de naves espaciales), el nombre "emisión de campo" se aplica a la emisión de iones inducida por el campo (emisión de iones de campo), en lugar de a los electrones, y porque en algunos contextos teóricos la "emisión de campo" es se utiliza como un nombre general que cubre tanto la emisión de electrones de campo como la emisión de iones de campo.
Históricamente, el fenómeno de la emisión de electrones de campo se ha conocido con una variedad de nombres, que incluyen "efecto aeona", "emisión autoelectrónica", "emisión fría", "emisión de cátodo frío", "emisión de campo", "emisión de electrones de campo". y "emisión de campo de electrones".
Las ecuaciones de este artículo están escritas utilizando el Sistema Internacional de Cantidades (ISQ). Este es el sistema internacional moderno (posterior a la década de 1970), basado en el sistema de ecuaciones racionalizado metro-kilogramo-segundo (rmks), que se utiliza para definir las unidades SI. La literatura de emisiones de campo más antigua (y los artículos que copian directamente ecuaciones de la literatura antigua) a menudo escriben algunas ecuaciones usando un sistema de ecuaciones más antiguo que no usa la cantidad ε 0 . En este artículo, todas estas ecuaciones se han convertido a la forma internacional moderna. Para mayor claridad, esto siempre debe hacerse.
Dado que la función de trabajo normalmente se da en electronvoltios (eV), y a menudo es conveniente medir campos en voltios por nanómetro (V / nm), los valores de la mayoría de las constantes universales se dan aquí en unidades que involucran eV, V y nm. Cada vez más, esta es una práctica normal en la investigación de emisiones de campo. Sin embargo, todas las ecuaciones aquí son ecuaciones compatibles con ISQ y permanecen dimensionalmente consistentes, como lo requiere el sistema internacional moderno. Para indicar su estado, los valores numéricos de las constantes universales se dan a siete cifras significativas. Los valores se derivan utilizando los valores de 2006 de las constantes fundamentales.
Historia temprana de la emisión de electrones de campo
La emisión de electrones de campo tiene una historia larga, complicada y desordenada. Esta sección cubre la historia temprana, hasta la derivación de la ecuación original tipo Fowler-Nordheim en 1928.
En retrospectiva, parece probable que las descargas eléctricas reportadas por Winkler [2] en 1744 fueran iniciadas por CFE desde su electrodo de alambre. Sin embargo, investigaciones significativas tuvieron que esperar hasta después de JJ Thomson 's [3] identificación del electrón en 1897, y hasta después de que se entendía - de emisión térmica [4] y foto-emisión [5] trabajo - que los electrones pueden ser emitidos desde el interior de los metales (en lugar de desde las moléculas de gas adsorbidas en la superficie ) y que, en ausencia de campos aplicados, los electrones que escapan de los metales tenían que superar una barrera de función de trabajo.
Se sospechaba al menos desde 1913 que la emisión inducida por el campo era un efecto físico separado. [6] Sin embargo, solo después de que las técnicas de aspiración y limpieza de muestras mejoraron significativamente, esto quedó bien establecido. Lilienfeld (que estaba principalmente interesado en fuentes de electrones para aplicaciones médicas de rayos X ) publicó en 1922 [7] el primer relato claro en inglés de la fenomenología experimental del efecto que él había llamado "emisión autoelectrónica". Había trabajado en este tema, en Leipzig, desde aproximadamente 1910. Kleint describe este y otros trabajos iniciales. [8] [9]
Después de 1922, aumentó el interés experimental, particularmente en los grupos liderados por Millikan en el Instituto de Tecnología de California (Caltech) en Pasadena, California , [10] y por Gossling en la General Electric Company en Londres. [11] Los intentos de comprender la emisión autoelectrónica incluyeron graficar datos experimentales de corriente-voltaje ( i-V ) de diferentes maneras, para buscar una relación en línea recta. La corriente aumentó con el voltaje más rápidamente que linealmente, pero las gráficas de tipo log ( i ) frente a V no fueron rectas. [10] Schottky [12] sugirió en 1923 que el efecto podría deberse a una emisión inducida térmicamente sobre una barrera de campo reducido. Si es así, las gráficas de log ( i ) frente a √ V deberían ser rectas, pero no lo eran. [10] La explicación de Schottky tampoco es compatible con la observación experimental de una dependencia de temperatura muy débil en CFE [7] , un punto que inicialmente se pasó por alto. [6]
Se produjo un gran avance cuando Lauritsen [13] (y Oppenheimer independientemente [14] ) encontraron que las gráficas de log ( i ) frente a 1 / V producían buenas líneas rectas. Este resultado, publicado por Millikan y Lauritsen [13] a principios de 1928, era conocido por Fowler y Nordheim .
Oppenheimer había predicho [14] que el efecto túnel inducido por el campo de los electrones de los átomos (el efecto ahora llamado ionización de campo) tendría esta dependencia i ( V ), había encontrado esta dependencia en los resultados de emisión de campo experimental publicados de Millikan y Eyring, [ 10] y propuso que la CFE se debía al efecto túnel inducido por el campo de los electrones de los orbitales de tipo atómico en los átomos metálicos de la superficie. Una teoría alternativa de Fowler-Nordheim [1] explicó tanto el hallazgo de Millikan-Lauritsen como la muy débil dependencia de la corriente con la temperatura. La teoría de Fowler-Nordheim predijo que ambas serían consecuencias si la CFE se debiera a la tunelización inducida por el campo desde estados de tipo de electrones libres en lo que ahora llamaríamos una banda de conducción de metal , con los estados de electrones ocupados de acuerdo con las estadísticas de Fermi-Dirac .
Oppenheimer tenía detalles matemáticos de su teoría seriamente incorrectos. [15] También hubo un pequeño error numérico en la ecuación final dada por la teoría de Fowler-Nordheim para la densidad de corriente CFE : esto fue corregido en el artículo de 1929 de ( Stern, Gossling & Fowler 1929 ). [dieciséis]
Estrictamente, si el campo de barrera en la teoría de Fowler-Nordheim 1928 es exactamente proporcional al voltaje aplicado, y si el área de emisión es independiente del voltaje, entonces la teoría de Fowler-Nordheim 1928 predice que las gráficas de la forma (log ( i / V 2 ) frente a 1 / V ) deben ser líneas rectas exactas. Sin embargo, las técnicas experimentales contemporáneas no fueron lo suficientemente buenas para distinguir entre el resultado teórico de Fowler-Nordheim y el resultado experimental de Millikan-Lauritsen.
Por lo tanto, en 1928 se había logrado una comprensión física básica del origen de CFE a partir de metales a granel, y se había derivado la ecuación original de tipo Fowler-Nordheim.
La literatura a menudo presenta el trabajo de Fowler-Nordheim como una prueba de la existencia de un túnel de electrones , como predice la mecánica de ondas. Si bien esto es correcto, la validez de la mecánica ondulatoria fue ampliamente aceptada en 1928. El papel más importante del artículo de Fowler-Nordheim fue que era un argumento convincente del experimento de que las estadísticas de Fermi-Dirac se aplicaban al comportamiento de los electrones en los metales, como sugirió Sommerfeld [17] en 1927. El éxito de la teoría de Fowler-Nordheim contribuyó en gran medida a respaldar la exactitud de las ideas de Sommerfeld y ayudó mucho a establecer la teoría moderna de bandas de electrones . [18] En particular, la ecuación original tipo Fowler-Nordheim fue una de las primeras en incorporar las consecuencias estadístico-mecánicas de la existencia del espín electrónico en la teoría de un efecto experimental de materia condensada. El artículo de Fowler-Nordheim también estableció la base física para un tratamiento unificado de la emisión de electrones inducida por campo e inducida térmicamente . [18] Antes de 1928 se había planteado la hipótesis de que existían en los metales dos tipos de electrones, "termiones" y "electrones de conducción", y que las corrientes de electrones emitidos térmicamente se debían a la emisión de termiones, pero que las corrientes emitidas por campo eran debido a la emisión de electrones de conducción. El trabajo de Fowler-Nordheim 1928 sugirió que los termiones no necesitaban existir como una clase separada de electrones internos: los electrones podrían provenir de una sola banda ocupada de acuerdo con las estadísticas de Fermi-Dirac, pero serían emitidos de formas estadísticamente diferentes bajo diferentes condiciones de temperatura y campo aplicado.
Las ideas de Oppenheimer , Fowler y Nordheim también fueron un estímulo importante para el desarrollo, por Gamow , [19] y Gurney y Condon , [20] [21] más tarde en 1928, de la teoría de la desintegración radiactiva de los núcleos (por alfa tunelización de partículas ). [22]
Aplicaciones prácticas: pasado y presente
Como ya se indicó, el trabajo experimental inicial sobre la emisión de electrones de campo (1910-1920) [7] fue impulsado por el deseo de Lilienfeld de desarrollar tubos de rayos X miniaturizados para aplicaciones médicas. Sin embargo, era demasiado pronto para que esta tecnología tuviera éxito.
Después del trabajo teórico de Fowler-Nordheim en 1928, se produjo un gran avance con el desarrollo en 1937 por Erwin W. Mueller del microscopio electrónico de campo de geometría esférica (FEM) [23] (también llamado "microscopio de emisión de campo"). En este instrumento, el emisor de electrones es un alambre puntiagudo, de radio de vértice r . Este se coloca, en un recinto al vacío, frente a un detector de imágenes (originalmente una pantalla de fósforo), a una distancia R del mismo. La pantalla del microscopio muestra una imagen de proyección de la distribución de la densidad de corriente J a través del ápice del emisor, con un aumento de aproximadamente ( R / r ), típicamente de 10 5 a 10 6 . En los estudios de MEF, el radio del vértice suele ser de 100 nm a 1 μm. La punta del cable puntiagudo, cuando se denomina objeto físico, se ha denominado "emisor de campo", "punta" o (recientemente) "emisor de Mueller".
Cuando la superficie del emisor está limpia, esta imagen FEM es característica de: (a) el material del que está hecho el emisor: (b) la orientación del material con respecto al eje de la aguja / alambre; y (c) hasta cierto punto, la forma del extremo del emisor. En la imagen FEM, las áreas oscuras corresponden a regiones donde la función de trabajo local φ es relativamente alta y / o el campo de barrera local F es relativamente bajo, por lo que J es relativamente bajo; las áreas claras corresponden a regiones donde φ es relativamente bajo y / o F es relativamente alto, por lo que J es relativamente alto. Esto es lo que predice el exponente de las ecuaciones de tipo Fowler-Nordheim [ver ec. (30) a continuación].
La adsorción de capas de átomos de gas (como el oxígeno) sobre la superficie del emisor, o parte de ella, puede crear dipolos eléctricos superficiales que cambian la función de trabajo local de esta parte de la superficie. Esto afecta la imagen FEM; Además, el cambio de función de trabajo se puede medir usando un diagrama de Fowler-Nordheim (ver más abajo). Por tanto, el FEM se convirtió en una de las primeras herramientas de observación de la ciencia de la superficie . [24] [25] Por ejemplo, en la década de 1960, los resultados de FEM contribuyeron significativamente a las discusiones sobre catálisis heterogénea . [26] FEM también se ha utilizado para estudios de difusión de átomos de superficie . Sin embargo, FEM ahora ha sido reemplazado casi por completo por nuevas técnicas de ciencia de superficie.
Una consecuencia del desarrollo de FEM, y la experimentación subsiguiente, fue que fue posible identificar (a partir de la inspección de imágenes de FEM) cuando un emisor estaba "limpio" y, por lo tanto, exhibió su función de trabajo de superficie limpia establecida por otras técnicas. Esto fue importante en experimentos diseñados para probar la validez de la ecuación estándar tipo Fowler-Nordheim. [27] [28] Estos experimentos dedujeron un valor del factor de conversión de voltaje a campo de barrera β de un gráfico de Fowler-Nordheim (ver más abajo), asumiendo el valor φ de superficie limpia para el tungsteno, y lo compararon con los valores derivados a partir de observaciones de microscopio electrónico de la forma del emisor y modelado electrostático. Se logró un acuerdo dentro de aproximadamente el 10%. Sólo muy recientemente [29] ha sido posible hacer la comparación al revés, llevando una sonda bien preparada tan cerca de una superficie bien preparada que se pueda suponer una geometría aproximada de placas paralelas y se pueda tomar el factor de conversión. como 1 / W , donde W es la separación medida entre la sonda y el emisor. El análisis de la gráfica de Fowler-Nordheim resultante arroja un valor de función de trabajo cercano a la función de trabajo conocida independientemente del emisor.
Espectroscopía electrónica de campo (análisis de energía electrónica)
Mediciones de distribución de energía de los electrones emitidos de campo-se informó por primera en 1939. [30] En 1959 se realizó teóricamente por Young, [31] y confirmado experimentalmente por Young y Mueller [32] que la cantidad medida en la geometría esférica fue la distribución de la energía total del electrón emitido (su "distribución de energía total"). Esto se debe a que, en la geometría esférica, los electrones se mueven de tal manera que el momento angular alrededor de un punto del emisor está casi conservado. Por lo tanto, cualquier energía cinética que, en la emisión, esté en una dirección paralela a la superficie del emisor, se convierte en energía asociada con la dirección radial del movimiento. Entonces, lo que se mide en un analizador de energía es la energía total en la emisión.
Con el desarrollo de analizadores de energía de electrones sensibles en la década de 1960, fue posible medir detalles finos de la distribución total de energía. Estos reflejan finos detalles de la física de la superficie , y la técnica de la espectroscopia electrónica de campo floreció durante un tiempo, antes de ser reemplazada por las nuevas técnicas de la ciencia de la superficie. [33] [34]
Emisores de electrones de campo como fuentes de cañón de electrones
Para lograr una alta resolución en microscopios electrónicos y otros instrumentos de haz de electrones (como los que se utilizan para la litografía por haz de electrones ), es útil comenzar con una fuente de electrones que sea pequeña, ópticamente brillante y estable. Las fuentes basadas en la geometría de un emisor de Mueller califican bien en los dos primeros criterios. La primera observación con microscopio electrónico (EM) de un átomo individual fue realizada por Crewe, Wall y Langmore en 1970, [35] utilizando un microscopio electrónico de barrido equipado con una pistola de emisión de campo temprano.
Desde la década de 1950 en adelante, se ha dedicado un gran esfuerzo al desarrollo de fuentes de emisión de campo para su uso en cañones de electrones . [36] [37] [38] [p. Ej., DD53] Se han desarrollado métodos para generar haces en el eje, ya sea por acumulación de emisores inducida por el campo o por deposición selectiva de un adsorbato de baja función de trabajo (generalmente circonio óxido - ZrO) en el vértice plano de un emisor de tungsteno orientado (100) . [39]
Las fuentes que operan a temperatura ambiente tienen la desventaja de que se cubren rápidamente con moléculas de adsorbato que llegan de las paredes del sistema de vacío , y el emisor debe limpiarse de vez en cuando mediante "flasheo" a alta temperatura. Hoy en día, es más común utilizar fuentes basadas en emisores de Mueller que funcionan a temperaturas elevadas, ya sea en el régimen de emisión de Schottky o en el llamado régimen intermedio de campo de temperatura. Muchos microscopios electrónicos de alta resolución e instrumentos de haz de electrones modernos utilizan alguna forma de fuente de electrones basada en emisores de Mueller. Actualmente, se están haciendo intentos para desarrollar nanotubos de carbono (CNT) como fuentes de emisión de campos de cañones de electrones. [40] [41]
El uso de fuentes de emisión de campo en instrumentos ópticos de electrones ha implicado el desarrollo de teorías apropiadas de la óptica de partículas cargadas, [37] [42] y el desarrollo de modelos relacionados. Se han probado varios modelos de forma para los emisores Mueller; el mejor parece ser el modelo de "Esfera en cono ortogonal" (SOC) introducido por Dyke, Trolan. Dolan y Barnes en 1953. [43] Wiesener y Everhart realizaron importantes simulaciones que implican el rastreo de trayectorias utilizando el modelo de emisor SOC. [44] [45] [46] Hoy en día, la facilidad para simular la emisión de campo de los emisores Mueller se incorpora a menudo en los programas comerciales de óptica electrónica utilizados para diseñar instrumentos de haz de electrones. El diseño de cañones de electrones de emisión de campo modernos eficientes requiere una experiencia altamente especializada.
Emisores atómicamente nítidos
Hoy en día es posible preparar emisores muy puntiagudos, incluso emisores que terminan en un solo átomo. En este caso, la emisión de electrones proviene de un área aproximadamente el doble del tamaño cristalográfico de un solo átomo. Esto se demostró comparando imágenes de microscopio de iones de campo (FIM) y FEM del emisor. [47] Los emisores Mueller de átomo único y ápice también son relevantes para la microscopía de sonda de barrido y la microscopía de iones de barrido de helio (He SIM). [48] Las técnicas para prepararlos se han investigado durante muchos años. [47] [49] Un importante avance reciente relacionado ha sido el desarrollo (para su uso en el He SIM) de una técnica automatizada para restaurar un ápice de tres átomos ("trímero") a su estado original, si el trímero se rompe. [48]
Fuentes de emisión de campo de gran superficie: nanoelectrónica de vacío
Aspectos materiales
Las fuentes de emisión de campo de gran superficie han sido de interés desde la década de 1970. En estos dispositivos, se crea una alta densidad de sitios de emisión de campo individuales sobre un sustrato (originalmente silicio). Esta área de investigación se conoció, primero como "microelectrónica de vacío", ahora como "nanoelectrónica de vacío".
Uno de los dos tipos de dispositivos originales, la " matriz de Spindt ", [50] utilizó técnicas de fabricación de circuitos integrados de silicio (IC) para hacer matrices regulares en las que los conos de molibdeno se depositaban en pequeños huecos cilíndricos en una película de óxido, con el vacío cubierto por un contraelectrodo con una abertura circular central. Esta geometría general también se ha utilizado con nanotubos de carbono cultivados en el vacío.
El otro tipo de dispositivo original era el "emisor Latham". [51] [52] Estos eran MIMIV (metal-aislante-metal-aislante-vacío) - o, más generalmente, CDCDV (conductor-dieléctrico-conductor-dieléctrico-vacío) - dispositivos que contenían partículas conductoras en una película dieléctrica. El dispositivo emite campo porque su microestructura / nanoestructura tiene propiedades de mejora del campo. Este material tenía una ventaja de producción potencial, ya que podía depositarse como una "tinta", por lo que no se necesitaban técnicas de fabricación de circuitos integrados. Sin embargo, en la práctica, resultó difícil fabricar dispositivos uniformemente fiables.
La investigación avanzó para buscar otros materiales que pudieran depositarse / crecer como películas delgadas con propiedades adecuadas para mejorar el campo. En una disposición de placas paralelas, el campo "macroscópico" F M entre las placas viene dado por F M = V / W , donde W es la separación de placas y V es el voltaje aplicado. Si se crea un objeto afilado en una placa, entonces el campo local F en su vértice es mayor que F M y puede relacionarse con F M por
El parámetro γ se denomina "factor de mejora de campo" y está básicamente determinado por la forma del objeto. Dado que las características de emisión de campo están determinadas por el campo local F , entonces cuanto mayor sea el valor γ del objeto, menor será el valor de F M en el que se produce una emisión significativa. Por tanto, para un valor dado de W , menor será el voltaje V aplicado al que se produce una emisión significativa.
Durante un período de aproximadamente diez años desde mediados de la década de 1990, hubo un gran interés en la emisión de campo de películas de carbono amorfo y "similar al diamante" depositadas con plasma . [53] [54] Sin embargo, el interés disminuyó posteriormente, en parte debido a la llegada de emisores de CNT , y en parte porque surgió evidencia de que los sitios de emisión podrían estar asociados con objetos de carbono particulados creados de una manera desconocida durante el proceso de deposición : esto sugirió que El control de calidad de un proceso de producción a escala industrial puede resultar problemático.
La introducción de emisores de campo CNT, [41] tanto en forma de "tapete" como en forma de "matriz de crecimiento", fue un importante paso adelante. Se ha llevado a cabo una amplia investigación tanto sobre sus características físicas como sobre sus posibles aplicaciones tecnológicas. [40] Para la emisión de campo, una ventaja de los CNT es que, debido a su forma, con su alta relación de aspecto , son "objetos que mejoran el campo natural".
En los últimos años también ha habido un crecimiento masivo en el interés en el desarrollo de otras formas de emisores de película delgada, tanto aquellos basados en otras formas de carbono (como "nanopared de carbono [55] ") como en varias formas de banda ancha semiconductor de brecha. [56] Un objetivo particular es desarrollar nanoestructuras de "alta γ " con una densidad suficientemente alta de sitios de emisión individuales. También se utilizan películas delgadas de nanotubos en forma de bandas de nanotubos para el desarrollo de electrodos de emisión de campo. [57] [58] [59] Se muestra que al ajustar los parámetros de fabricación, estas redes pueden lograr una densidad óptima de sitios de emisión individuales [57] Electrodos de doble capa hechos por deposición de dos capas de estas redes con perpendicular Se ha demostrado que la alineación entre sí puede reducir el campo eléctrico de encendido (campo eléctrico necesario para lograr una corriente de emisión de 10 μA / cm 2 ) a 0,3 V / μm y proporcionar un rendimiento de emisión de campo estable. [58]
Los problemas comunes con todos los dispositivos de emisión de campo, en particular los que operan en "condiciones de vacío industrial", es que el rendimiento de las emisiones puede degradarse por la adsorción de átomos de gas que llegan de otras partes del sistema y, en principio, la forma del emisor puede modificarse de manera perjudicial. mediante una variedad de procesos subsidiarios no deseados, como el bombardeo de iones creados por el impacto de electrones emitidos sobre átomos en fase gaseosa y / o sobre la superficie de contraelectrodos. Por tanto, un requisito industrial importante es la "robustez en condiciones de vacío deficientes"; esto debe tenerse en cuenta en la investigación de nuevos materiales emisores.
En el momento de escribir este artículo, las formas más prometedoras de fuente de emisión de campo de gran área (ciertamente en términos de densidad de corriente de emisión promedio alcanzada) parecen ser las matrices de Spindt y las diversas formas de fuente basadas en CNT.
Aplicaciones
El desarrollo de fuentes de emisión de campo de gran superficie fue impulsado originalmente por el deseo de crear formas nuevas y más eficientes de visualización de información electrónica . Estos se conocen como " pantallas de emisión de campo " o "pantallas nanoemisivas". Aunque se han demostrado varios prototipos, [40] el desarrollo de tales pantallas en productos comerciales fiables se ha visto obstaculizado por una variedad de problemas de producción industrial que no están directamente relacionados con las características de la fuente [En08].
Otras aplicaciones propuestas de las fuentes de emisión de campo de gran superficie [40] incluyen la generación de microondas , la neutralización de vehículos espaciales, la generación de rayos X y (para fuentes de matriz) la litografía de haz electrónico múltiple . También hay intentos recientes de desarrollar emisores de gran superficie sobre sustratos flexibles, en consonancia con las tendencias más amplias hacia la " electrónica plástica ".
El desarrollo de tales aplicaciones es la misión de la nanoelectrónica de vacío. Sin embargo, los emisores de campo funcionan mejor en condiciones de buen vacío ultra alto. Sus aplicaciones más exitosas hasta la fecha (pistolas FEM, FES y EM) se han producido en estas condiciones. El triste hecho es que los emisores de campo y las condiciones de vacío industrial no van bien juntos, y los problemas relacionados para garantizar de manera confiable una buena "robustez del vacío" de las fuentes de emisión de campo utilizadas en tales condiciones aún esperan mejores soluciones (probablemente soluciones de materiales más inteligentes) que las que tenemos actualmente. tengo.
Fenómenos de ruptura de vacío y descarga eléctrica
Como ya se indicó, ahora se piensa que las primeras manifestaciones de la emisión de electrones de campo fueron las descargas eléctricas que causó. Después del trabajo de Fowler-Nordheim, se entendió que la CFE era una de las posibles causas principales subyacentes de los fenómenos de descomposición del vacío y descargas eléctricas. (Los mecanismos detallados y las vías involucradas pueden ser muy complicados, y no existe una causa universal única) [60] Donde se sabe que la ruptura del vacío es causada por la emisión de electrones de un cátodo, entonces el pensamiento original era que el mecanismo era CFE desde pequeño Realización de protuberancias superficiales en forma de aguja. Se utilizaron (y se utilizan) procedimientos para redondear y suavizar las superficies de los electrodos que podrían generar corrientes de emisión de electrones de campo no deseadas. Sin embargo, el trabajo de Latham y otros [51] mostró que la emisión también podría estar asociada con la presencia de inclusiones semiconductoras en superficies lisas. La física de cómo se genera la emisión aún no se comprende completamente, pero existe la sospecha de que pueden estar involucrados los llamados "efectos de triple unión". Se puede encontrar más información en el libro de Latham [51] y en la bibliografía en línea. [60]
Transferencia interna de electrones en dispositivos electrónicos
En algunos dispositivos electrónicos, la transferencia de electrones de un material a otro, o (en el caso de bandas inclinadas) de una banda a otra (" tunelización Zener "), se lleva a cabo mediante un proceso de tunelización inducido por el campo que puede considerarse como una forma de los túneles de Fowler-Nordheim. Por ejemplo, el libro de Rhoderick analiza la teoría relevante para los contactos metal-semiconductor . [61]
Túneles de Fowler-Nordheim
Introducción
La siguiente parte de este artículo trata sobre la teoría básica de la emisión de electrones de campo frío a partir de metales a granel. Esto se trata mejor en cuatro etapas principales, que incluyen la teoría asociada con: (1) la derivación de una fórmula para la " probabilidad de escape ", considerando el túnel de electrones a través de una barrera triangular redondeada; (2) una integración sobre los estados internos de los electrones para obtener la "distribución de energía total"; (3) una segunda integración, para obtener la densidad de corriente de emisión en función del campo de barrera local y la función de trabajo local; (4) conversión de esto a una fórmula para la corriente en función del voltaje aplicado. Las ecuaciones modificadas necesarias para los emisores de gran superficie y las cuestiones del análisis de datos experimentales se tratan por separado.
El túnel de Fowler-Nordheim es el túnel de ondas mecánicas de un electrón a través de una barrera triangular exacta o redondeada. Se reconocen dos situaciones básicas: (1) cuando el electrón está inicialmente en un estado localizado ; (2) cuando el electrón inicialmente no está fuertemente localizado y está mejor representado por una onda viajera . La emisión de una banda de conducción de metal a granel es una situación del segundo tipo, y la discusión aquí se relaciona con este caso. También se supone que la barrera es unidimensional (es decir, no tiene estructura lateral) y no tiene una estructura de escala fina que cause efectos de " dispersión " o "resonancia". Para mantener esta explicación de los túneles de Fowler-Nordheim relativamente simple, se necesitan estas suposiciones; pero la estructura atómica de la materia, en efecto, no se tiene en cuenta.
Energía motriz
Para un electrón, la ecuación de Schrödinger unidimensional se puede escribir en la forma
( 1 )
donde Ψ ( x ) es la función de onda del electrón , expresada como una función de la distancia x medida desde la superficie eléctrica del emisor, [62] ħ es la constante de Planck reducida , m es la masa del electrón, U ( x ) es el potencial del electrón energía , E n es la energía total de electrones asociada con el movimiento en la dirección x , y M ( x ) = [ U ( x ) - E n ] se denomina energía motriz del electrón. [63] M ( x ) se puede interpretar como el negativo de la energía cinética del electrón asociado con el movimiento de un electrón puntual clásico hipotético en la dirección x , y es positivo en la barrera.
La forma de una barrera de túnel está determinada por cómo varía M ( x ) con la posición en la región donde M ( x )> 0. Dos modelos tienen un estatus especial en la teoría de las emisiones de campo: la barrera triangular exacta (ET) y la de Schottky-Nordheim. (SN) barrera . [64] [65] Estos están dados por las ecuaciones (2) y (3), respectivamente:
( 2 )
( 3 )
Aquí h es la altura de campo cero (o altura no reducida ) de la barrera, e es la carga positiva elemental , F es el campo de barrera y ε 0 es la constante eléctrica . Por convención, F se toma como positivo, aunque el campo electrostático clásico sería negativo. La ecuación SN utiliza la energía potencial de la imagen clásica para representar el efecto físico "correlación e intercambio".
Probabilidad de escape
Para un electrón se aproxima a una barrera dada desde el interior, la probabilidad de fuga (o " coeficiente de transmisión " o "coeficiente de penetración") es una función de h y F , y se designa por D ( h , F ). El objetivo principal de la teoría de los túneles es calcular D ( h , F ). Para modelos de barrera físicamente realistas, como la barrera de Schottky-Nordheim, la ecuación de Schrödinger no se puede resolver exactamente de una manera simple. Se puede utilizar el siguiente enfoque denominado "semiclásico". Un parámetro G ( h , F ) se puede definir mediante la integral JWKB (Jeffreys-Wentzel-Kramers-Brillouin) : [66]
( 4 )
donde la integral se toma a través de la barrera (es decir, a través de la región donde M > 0), y el parámetro g es una constante universal dada por
( 5 )
Forbes ha reorganizado un resultado probado por Fröman y Fröman, para mostrar que, formalmente, en un tratamiento unidimensional, la solución exacta para D se puede escribir [67]
( 6 )
donde el prefactor P de tunelización puede, en principio, evaluarse mediante complejas integraciones iterativas a lo largo de una trayectoria en un espacio complejo . [67] [68] En el régimen de EFC tenemos (por definición) G ≫ 1. Además, para modelos simples P ≈ 1. Entonces eq. (6) se reduce a la denominada fórmula JWKB simple :
( 7 )
Para la barrera triangular exacta, poniendo eq. (2) en la ecuación. (4) produce G ET = bh 3/2 / F , donde
( 8 )
Este parámetro b es una constante universal a veces llamada la segunda constante de Fowler-Nordheim . Para barreras de otras formas, escribimos
( 9 )
donde ν ( h , F ) es un factor de corrección que en general debe determinarse mediante integración numérica , utilizando la ec. (4).
Factor de corrección de la barrera de Schottky-Nordheim
La barrera de Schottky-Nordheim, que es el modelo de barrera utilizado para derivar la ecuación estándar de tipo Fowler-Nordheim, [69] es un caso especial. En este caso, se sabe que el factor de correcciónes una función de una sola variable f h , definida por f h = F / F h , donde F h es el campo necesaria para reducir la altura de una barrera de Schottky-Nordheim de h a 0. Este campo está dada por
( 10 )
El parámetro f h va de 0 a 1, y puede denominarse campo de barrera escalado , para una barrera de Schottky-Nordheim de altura de campo cero h .
Para la barrera de Schottky-Nordheim, ν ( h , F ) viene dado por el valor particular ν ( f h ) de una función ν ( ℓ ′ ). Esta última es una función de la física matemática por derecho propio y se la ha denominado función de barrera principal de Schottky-Nordheim . Una expansión de serie explícita para ν ( ℓ ′ ) se deriva en un artículo de 2008 de J. Deane. [70] Se ha encontrado la siguiente buena aproximación simple para ν ( f h ): [69]
( 11 )
Ancho de decaimiento
El ancho de desintegración (en energía), d h , mide qué tan rápido la probabilidad de escape D disminuye a medida que aumenta la altura de la barrera h ; d h se define por:
( 12 )
Cuando h aumenta en d h, entonces la probabilidad de escape D disminuye en un factor cercano ae (≈ 2,718282). Para un modelo elemental, basado en la barrera triangular exacta, donde ponemos ν = 1 y P ≈ 1, obtenemos
El ancho de desintegración d h derivado de la expresión más general (12) difiere de esto por un "factor de corrección de ancho de desintegración" λ d , por lo que:
( 13 )
Por lo general, el factor de corrección se puede aproximar a la unidad.
El ancho de decaimiento d F para una barrera con h igual a la función de trabajo local φ es de especial interés. Numéricamente esto viene dado por:
( 14 )
Para los metales, el valor de d F es típicamente del orden de 0,2 eV, pero varía con el campo barrera F .
Comentarios
Es necesaria una nota histórica. La idea de que la barrera de Schottky-Nordheim necesitaba un factor de corrección, como en la ecuación. (9), fue introducido por Nordheim en 1928, [65] pero su análisis matemático del factor fue incorrecto. Una nueva función (correcta) fue introducida por Burgess, Kroemer y Houston [71] en 1953, y sus matemáticas fueron desarrolladas por Murphy y Good en 1956. [72] Esta función corregida, a veces conocida como "función elíptica de emisión de campo especial ", se expresó en función de una variable matemática y conocida como" parámetro de Nordheim ". Solo recientemente (2006 a 2008) se ha descubierto que, matemáticamente, es mucho mejor utilizar la variable ℓ ′ (= y 2 ) . Y solo recientemente ha sido posible completar la definición de ν ( ℓ ′ ) desarrollando y probando la validez de una expansión de serie exacta para esta función (partiendo de soluciones conocidas de casos especiales de la ecuación diferencial hipergeométrica de Gauss ). Además, la aproximación (11) se ha encontrado solo recientemente. La aproximación (11) supera, y presumiblemente eventualmente desplazará, todas las aproximaciones más antiguas de complejidad equivalente. Estos desarrollos recientes, y sus implicaciones, probablemente tendrán un impacto significativo en la investigación de emisiones de campo a su debido tiempo.
El siguiente resumen reúne estos resultados. Para hacer túneles muy por debajo de la parte superior de una barrera de altura razonable que se comporta bien, la probabilidad de escape D ( h , F ) viene dada formalmente por:
( 15 )
donde ν ( h , F ) es un factor de corrección que en general debe calcularse mediante integración numérica. Para el caso especial de una barrera de Schottky-Nordheim, existe un resultado analítico y ν ( h , F ) viene dado por ν ( f h ), como se discutió anteriormente; la aproximación (11) para ν ( f h ) es más que suficiente para todos los propósitos tecnológicos. El prefactor P también es en principio una función de hy (quizás) F , pero para los modelos físicos simples discutidos aquí, generalmente es satisfactorio hacer la aproximación P = 1. La barrera triangular exacta es un caso especial donde el Schrödinger la ecuación se puede resolver exactamente, como hicieron Fowler y Nordheim; [1] para este caso físicamente irreal, ν ( f h ) = 1, y existe una aproximación analítica para P.
El enfoque descrito aquí se desarrolló originalmente para describir los túneles de Fowler-Nordheim a partir de superficies emisoras planas, lisas y clásicamente planas. Es adecuado para superficies curvas lisas y clásicas de radios de hasta aproximadamente 10 a 20 nm. Puede adaptarse a superficies de radio más agudo, pero cantidades como ν y D se convierten en funciones significativas de los parámetros utilizados para describir la curvatura de la superficie. Cuando el emisor es tan nítido que no se pueden descuidar los detalles a nivel atómico, y / o la barrera de túnel es más gruesa que las dimensiones del ápice del emisor, entonces es deseable un enfoque más sofisticado.
Como se señaló al principio, los efectos de la estructura atómica de los materiales se ignoran en los tratamientos relativamente simples de la emisión de electrones de campo que se analizan aquí. Tener debidamente en cuenta la estructura atómica es un problema muy difícil y solo se han logrado avances limitados. [33] Sin embargo, parece probable que las principales influencias en la teoría de los túneles de Fowler-Nordheim sean (en efecto) cambiar los valores de P y ν en la ecuación. (15), por importes que no pueden estimarse fácilmente en la actualidad.
Todas estas observaciones se aplican en principio a la tunelización de Fowler Nordheim desde cualquier conductor donde (antes de la tunelización) los electrones pueden ser tratados como en estados de onda viajera . El enfoque puede adaptarse para aplicarse (aproximadamente) a situaciones en las que los electrones se encuentran inicialmente en estados localizados en o muy cerca dentro de la superficie emisora, pero esto está más allá del alcance de este artículo.
Distribución de energía total
La distribución de energía de los electrones emitidos es importante tanto para experimentos científicos que utilizan la distribución de energía de electrones emitidos para sondear aspectos de la física de la superficie del emisor [34] como para las fuentes de emisión de campo utilizadas en instrumentos de haz de electrones como microscopios electrónicos . [42] En el último caso, el "ancho" (en energía) de la distribución influye en la precisión con que se puede enfocar el haz.
La explicación teórica aquí sigue el enfoque de Forbes. [73] Si ε denota la energía total del electrón relativa al nivel de Fermi del emisor, y K p denota la energía cinética del electrón paralelo a la superficie del emisor, entonces la energía normal del electrón ε n (a veces llamada su "energía hacia adelante") es definido por
( 16 )
Se reconocen dos tipos de distribución de energía teórica: la distribución de energía normal (NED), que muestra cómo se distribuye la energía ε n inmediatamente después de la emisión (es decir, inmediatamente fuera de la barrera del túnel); y la distribución de energía total , que muestra cómo se distribuye la energía total ε . Cuando se utiliza el nivel de Fermi del emisor como nivel cero de referencia, tanto ε como ε n pueden ser positivos o negativos.
Se han realizado experimentos de análisis de energía en emisores de campo desde la década de 1930. Sin embargo, sólo a finales de la década de 1950 se advirtió (por Young y Mueller [31] [, YM58]) que estos experimentos siempre medían la distribución de energía total, que ahora se denota normalmente por j ( ε ). Esto también es cierto (o casi cierto) cuando la emisión proviene de una protuberancia que mejora el campo pequeño en una superficie que de otro modo sería plana. [34]
Para ver cómo se puede calcular la distribución de energía total dentro del marco de un modelo de tipo de electrones libres de Sommerfeld , observe el diagrama de energía-espacio de PT (PT = "paralelo-total").
Esto muestra la " energía cinética paralela " K p en el eje horizontal y la energía total ε en el eje vertical. Un electrón dentro del metal a granel generalmente tiene valores de K p y ε que se encuentran dentro del área ligeramente sombreada. Se puede demostrar que cada elemento d ε d K p de este espacio energético hace una contribucióna la densidad de corriente de electrones incidente en el interior del límite del emisor. [73] Aquí, z S es la constante universal (denominada aquí densidad de suministro de Sommerfeld ):
( 17 )
y es la función de distribución de Fermi – Dirac :
( 18 )
donde T es la temperatura termodinámica y k B es la constante de Boltzmann .
Este elemento de densidad de corriente incidente ve una barrera de altura h dada por:
( 19a )
La probabilidad de escape correspondiente es D ( h , F ): esto puede expandirse (aproximadamente) en la forma [73]
( 19b )
donde D F es la probabilidad de escape para una barrera de altura no reducida igual a la función de trabajo local φ . Por tanto, el elemento d ε d K p hace una contribucióna la densidad de corriente de emisión, y la contribución total hecha por los electrones incidentes con energías en el rango elemental d ε es así
( 20 )
donde la integral se toma en principio a lo largo de la tira que se muestra en el diagrama, pero en la práctica puede extenderse a ∞ cuando el ancho de desintegración d F es mucho menor que la energía de Fermi K F (que siempre es el caso de un metal) . El resultado de la integración se puede escribir:
( 21 )
dónde y son valores apropiados para una barrera de altura no reducida h igual a la función de trabajo local φ , y está definido por esta ecuación.
Para un emisor dado, con un campo dado aplicado, es independiente de F , por lo que la ecuación. (21) muestra que la forma de la distribución (a medida que ε aumenta desde un valor negativo muy por debajo del nivel de Fermi) es una exponencial creciente, multiplicada por la función de distribución FD . Esto genera la forma de distribución familiar predicha por primera vez por Young. [31] A bajas temperaturas,va bruscamente de 1 a 0 en las proximidades del nivel de Fermi, y el FWHM de la distribución viene dado por:
( 22 )
El hecho de que las distribuciones experimentales de energía total de CFE tengan esta forma básica es una buena confirmación experimental de que los electrones en los metales obedecen a las estadísticas de Fermi-Dirac .
Emisión de electrones de campo frío
Ecuaciones tipo Fowler-Nordheim
Introducción
Las ecuaciones de tipo Fowler-Nordheim, en la forma J - F , son ecuaciones teóricas (aproximadas) derivadas para describir la densidad de corriente local J emitida por los estados internos de los electrones en la banda de conducción de un metal a granel. La densidad de corriente de emisión (ECD) J para alguna pequeña región uniforme de una superficie emisora generalmente se expresa como una función J ( φ , F ) de la función de trabajo local φ y el campo de barrera local F que caracteriza la región pequeña. Para superficies con curvas pronunciadas, J también puede depender de los parámetros utilizados para describir la curvatura de la superficie.
Debido a las suposiciones físicas hechas en la derivación original, [1] el término ecuación tipo Fowler-Nordheim se ha utilizado durante mucho tiempo solo para ecuaciones que describen el ECD a temperatura cero. Sin embargo, es mejor permitir que este nombre incluya las ecuaciones ligeramente modificadas (discutidas a continuación) que son válidas para temperaturas finitas dentro del régimen de emisión de CFE.
Forma de temperatura cero
La densidad de corriente se mide mejor en A / m 2 . La densidad de corriente total emitida desde una pequeña región uniforme se puede obtener integrando la distribución de energía total j ( ε ) con respecto a la energía total de electrones ε . A temperatura cero, la función de distribución de Fermi – Dirac f FD = 1 para ε <0 y f FD = 0 para ε > 0. Entonces, el ECD en 0 K, J 0 , se da a partir de la ecuación. (18) por
( 23 )
dónde es la oferta efectiva para el estado F , y está definida por esta ecuación. Estrictamente, el límite inferior de la integral debe ser - K F , donde K F es la energía de Fermi ; pero si d F es mucho menor que K F (que siempre es el caso de un metal) entonces ninguna contribución significativa a la integral proviene de energías por debajo de K F , y formalmente puede extenderse a –∞.
Al resultado (23) se le puede dar una interpretación física simple y útil consultando la Fig. 1. El estado del electrón en el punto "F" en el diagrama ("estado F") es el "estado de movimiento hacia adelante en el nivel de Fermi" (es decir, , describe un electrón de nivel de Fermi moviéndose normal hacia y hacia la superficie del emisor). A 0 K, un electrón en este estado ve una barrera de altura no reducida φ y tiene una probabilidad de escape D F mayor que la de cualquier otro estado de electrones ocupados. Por lo tanto, es conveniente escribir J 0 como Z F D F , donde el "suministro efectivo" Z F es la densidad de corriente que tendría que ser transportada por el estado F dentro del metal si todas las emisiones salieran del estado F.
En la práctica, la densidad de corriente proviene principalmente de un grupo de estados cercanos en energía al estado F, la mayoría de los cuales se encuentran dentro del área muy sombreada en el diagrama de energía-espacio. Dado que, para un modelo de electrones libres , la contribución a la densidad de corriente es directamente proporcional al área en el espacio de energía (con la densidad de suministro de Sommerfeld z S como la constante de proporcionalidad), es útil pensar en el ECD extraído de estados de electrones en un área de tamaño d F 2 (medido en eV 2 ) en el diagrama de energía-espacio. Es decir, es útil pensar en el ECD como extraído de estados en el área muy sombreada en la Fig. 1. (Esta aproximación empeora lentamente a medida que aumenta la temperatura).
Z F también se puede escribir en la forma:
( 24 )
donde la constante universal a , a veces llamada la Primera Constante de Fowler-Nordheim , está dada por
( 25 )
Esto muestra claramente que el factor preexponencial a φ −1 F 2 , que aparece en las ecuaciones tipo Fowler-Nordheim, se relaciona con el suministro efectivo de electrones a la superficie del emisor, en un modelo de electrones libres.
Temperaturas distintas de cero
Para obtener un resultado válido para una temperatura distinta de cero, observamos de la ecuación. (23) que z S d F D F = J 0 / d F . Entonces, cuando eq. (21) se integra a una temperatura distinta de cero, luego, al hacer esta sustitución e insertar la forma explícita de la función de distribución de Fermi-Dirac , el ECD J se puede escribir en la forma:
( 26 )
donde λ T es un factor de corrección de temperatura dado por la integral. La integral se puede transformar escribiendo y , y entonces , en el resultado estándar: [74]
( 27 )
Esto es válido para w > 1 (es decir, d F / k B T > 1). Por tanto, para temperaturas tales que k B T < d F :
( 28 )
donde la expansión es válida solo si (π k B T / d F ) ≪ 1. Un valor de ejemplo (para φ = 4.5 eV, F = 5 V / nm, T = 300 K) es λ T = 1.024. El pensamiento normal ha sido que, en el régimen CFE, λ T siempre es pequeño en comparación con otras incertidumbres, y que generalmente no es necesario incluirlo explícitamente en fórmulas para la densidad de corriente a temperatura ambiente.
Los regímenes de emisión de los metales se definen, en la práctica, por los rangos del campo de barrera F y la temperatura T para los que una familia dada de ecuaciones de emisión es matemáticamente adecuada. Cuando el campo de barrera F es lo suficientemente alto para que el régimen de CFE esté operando para la emisión de metales a 0 K, entonces la condición k B T < d F proporciona un límite superior formal (en temperatura) al régimen de emisión de CFE. Sin embargo, se ha argumentado que (debido a aproximaciones hechas en otras partes de la derivación) la condición k B T <0.7 d F es un mejor límite de trabajo: esto corresponde a un valor λ T de alrededor de 1.09, y (para el caso de ejemplo ) un límite superior de temperatura en el régimen CFE de alrededor de 1770 K. Este límite es una función del campo de barrera. [33] [72]
Tenga en cuenta que el resultado (28) aquí se aplica a una barrera de cualquier forma (aunque d F será diferente para diferentes barreras).
Ecuación de tipo Fowler-Nordheim físicamente completa
El resultado (23) también conduce a una cierta comprensión de lo que sucede cuando se tienen en cuenta los efectos a nivel atómico y la estructura de bandas ya no es como la de los electrones libres. Debido a la presencia de núcleos de iones atómicos, la barrera de la superficie y también las funciones de onda de los electrones en la superficie serán diferentes. Esto afectará los valores del factor de corrección., el prefactor P , y (hasta cierto punto) el factor de corrección λ d . Estos cambios, a su vez, afectará a los valores del parámetro D F y (en un grado limitado) el parámetro d F . Para un metal real, la densidad de suministro variará con la posición en el espacio de energía, y el valor en el punto "F" puede ser diferente de la densidad de suministro de Sommerfeld. Podemos tener en cuenta este efecto introduciendo un factor de corrección de la estructura de bandas electrónicas λ B en la ecuación. (23). Modinos ha analizado cómo se podría calcular este factor: estima que es más probable que esté entre 0,1 y 1; podría estar fuera de estos límites, pero es muy poco probable que se sitúe fuera del rango 0,01 < λ B <10. [75]
Definiendo un factor de corrección de suministro global λ Z igual a λ T λ B λ d 2 , y combinando las ecuaciones anteriores, llegamos a la llamada ecuación de tipo Fowler-Nordheim físicamente completa: [76]
( 29 )
dónde [=( φ , F )] es el factor de corrección del exponente para una barrera de altura no reducida φ . Ésta es la ecuación más general del tipo Fowler-Nordheim. Otras ecuaciones de la familia se obtienen sustituyendo los tres factores de corrección por expresiones específicas, P F y λ Z que contiene. La llamada ecuación elemental de tipo Fowler-Nordheim, que aparece en las discusiones de libros de texto de pregrado sobre emisión de campo, se obtiene poniendo λ Z → 1, P F → 1,→ 1; esto no produce buenas predicciones cuantitativas porque hace que la barrera sea más fuerte de lo que es en la realidad física. La llamada ecuación estándar tipo Fowler-Nordheim, desarrollada originalmente por Murphy y Good, [72] y muy utilizada en la literatura anterior, se obtiene poniendo λ Z → t F −2 , P F → 1,→ v F , donde v F es v ( f ), donde f es el valor de f h obtenido poniendo h = φ , y t F es un parámetro relacionado (de valor cercano a la unidad). [69]
Dentro de la teoría más completa descrita aquí, el factor t F −2 es una parte componente del factor de corrección λ d 2 [ver, [67] y observe que λ d 2 se denota por λ D allí]. No hay ningún valor significativo en continuar con la identificación separada de t F −2 . Probablemente, en el estado actual del conocimiento, la mejor aproximación para el modelado simple basado en la ecuación de Fowler-Nordheim de CFE a partir de metales se obtiene poniendo λ Z → 1, P F → 1,→ v ( f ). Esto vuelve a generar la ecuación de tipo Fowler-Nordheim utilizada por Dyke y Dolan en 1956, y puede denominarse "ecuación estándar simplificada de tipo Fowler-Nordheim".
Forma recomendada para cálculos sencillos tipo Fowler-Nordheim
Explícitamente, esta ecuación estándar simplificada recomendada de tipo Fowler-Nordheim y las fórmulas asociadas son:
( 30a )
( 30b )
( 30c )
( 30d )
donde F φ aquí es el campo necesario para reducir a cero una barrera Schottky-Nordheim de altura no reducida igual a la función de trabajo local φ , yf es el campo de barrera escalado para una barrera Schottky-Nordheim de altura no reducida φ . [Esta cantidad f podría haberse escrito más exactamente como f φ SN , pero hace que esta ecuación de tipo Fowler-Nordheim parezca menos desordenada si se adopta la convención de que f simple significa la cantidad denotada por f φ SN en, [69] eq . (2.16).] Para el caso de ejemplo ( φ = 4.5 eV, F = 5 V / nm), f ≈ 0.36 yv ( f ) ≈ 0.58; los rangos prácticos para estos parámetros se analizan con más detalle en. [77]
Tenga en cuenta que la variable f (el campo de barrera escalado) no es la misma que la variable y (el parámetro de Nordheim) ampliamente utilizada en la literatura de emisiones de campo anterior, y que " v ( f )" NO tiene el mismo significado matemático y valores que la cantidad " v ( y )" que aparece en la literatura sobre emisiones de campo. En el contexto de la teoría revisada que se describe aquí, las fórmulas para v ( y ) y las tablas de valores para v ( y ) deben descartarse o tratarse como valores de v ( f 1/2 ). Si se requieren valores más exactos para v ( f ), entonces [69] proporciona fórmulas que dan valores para v ( f ) con una precisión matemática absoluta mejor que 8 × 10 −10 . Sin embargo, la fórmula de aproximación (30c) anterior, que arroja valores correctos dentro de una precisión matemática absoluta de 0,0025 mejor, debería proporcionar valores suficientemente precisos para todos los propósitos tecnológicos. [69]
Comentarios
Es necesaria una nota histórica sobre los métodos para derivar ecuaciones de tipo Fowler-Nordheim. Hay varios enfoques posibles para derivar estas ecuaciones, utilizando la teoría de electrones libres . El enfoque utilizado aquí fue introducido por Forbes en 2004 y puede describirse como "integración a través de la distribución de energía total, utilizando la energía cinética paralela K p como la primera variable de integración". [73] Básicamente, es un equivalente en electrones libres del procedimiento de Modinos [33] [75] (en un tratamiento mecánico cuántico más avanzado) de "integración sobre la zona de Brillouin superficial". Por el contrario, los tratamientos de electrones libres de CFE por Young en 1959, [31] Gadzuk y Plummer en 1973 [34] y Modinos en 1984, [33] también se integran a través de la distribución de energía total, pero usan la energía normal ε n ( o una cantidad relacionada) como la primera variable de integración.
También hay un enfoque más antiguo, basado en un artículo fundamental de Nordheim en 1928, [78] que formula el problema de manera diferente y luego usa primero K p y luego ε n (o una cantidad relacionada) como las variables de integración: esto se conoce como "integración a través de la distribución de energía normal". Este enfoque sigue siendo utilizado por algunos autores. Aunque tiene algunas ventajas, particularmente cuando se discuten los fenómenos de resonancia, requiere la integración de la función de distribución de Fermi-Dirac en la primera etapa de integración: para estructuras de bandas electrónicas que no son de electrones libres, esto puede conducir a errores muy complejos. matemáticas propensas (como en el trabajo de Stratton sobre semiconductores ). [79] Además, la integración a través de la distribución de energía normal no genera distribuciones de energía de electrones medidas experimentalmente.
En general, el enfoque utilizado aquí parece más fácil de entender y conduce a matemáticas más simples.
En principio, también está más cerca de los enfoques más sofisticados utilizados cuando se trata de sólidos cristalinos a granel reales, donde el primer paso es integrar contribuciones al ECD sobre superficies de energía constante en un espacio de vector de onda (espacio k ), [34 ] o para integrar contribuciones sobre la superficie relevante de la zona de Brillouin. [33] El enfoque de Forbes es equivalente a la integración sobre una superficie esférica en el espacio k , utilizando la variable K p para definir un elemento de integración en forma de anillo que tiene simetría cilíndrica alrededor de un eje en una dirección normal a la superficie emisora, o a la integración sobre una zona de Brillouin de superficie (extendida) utilizando elementos de anillo circular.
Ecuaciones teóricas de CFE
La sección anterior explica cómo derivar ecuaciones de tipo Fowler-Nordheim. Estrictamente, estas ecuaciones se aplican solo a CFE de metales a granel. Las ideas en las siguientes secciones se aplican a CFE de manera más general, pero eq. (30) se utilizará para ilustrarlos.
Para CFE, los tratamientos teóricos básicos proporcionan una relación entre la densidad de corriente de emisión local J y el campo de barrera local F , en una posición local en la superficie emisora. Los experimentos miden la corriente de emisión i de alguna parte definida de la superficie de emisión, en función del voltaje V aplicado a algún contraelectrodo. Para relacionar estas variables con J y F , se utilizan ecuaciones auxiliares.
El factor de conversión de voltaje a campo de barrera β se define por:
( 31 )
El valor de F varía de una posición a otra en la superficie de un emisor, y el valor de β varía en consecuencia.
Para un emisor de metal, el valor β para una posición dada será constante (independiente del voltaje) bajo las siguientes condiciones: (1) el aparato es una disposición de "diodo", donde los únicos electrodos presentes son el emisor y un conjunto de "entorno", cuyas partes están todas al mismo voltaje; (2) no está presente ninguna carga espacial de vacío significativa emitida en el campo (FEVSC) (esto será cierto excepto con densidades de corriente de emisión muy altas, alrededor de 10 9 A / m 2 o más altas [27] [80] ); (3) no existen "campos de parche" significativos, [63] como resultado de la falta de uniformidad en la función de trabajo local (normalmente se supone que esto es cierto, pero puede que no lo sea en algunas circunstancias). Para los no metales, los efectos físicos llamados "penetración de campo" y " flexión de banda " [M084] pueden hacer que β sea una función del voltaje aplicado, aunque, sorprendentemente, hay pocos estudios de este efecto.
La densidad de corriente de emisión J varía de una posición a otra a lo largo de la superficie del emisor. La corriente de emisión total i de una parte definida del emisor se obtiene integrando J en esta parte. Para obtener una ecuación simple para i ( V ), se utiliza el siguiente procedimiento. Se selecciona un punto de referencia "r" dentro de esta parte de la superficie del emisor (a menudo el punto en el que la densidad de corriente es más alta), y la densidad de corriente en este punto de referencia se denota por J r . Un parámetro A r , denominado área de emisión teórica (con respecto al punto "r"), se define entonces por:
( 32 )
donde la integral se toma a través de la parte del emisor de interés.
Este parámetro A r fue introducido en la teoría CFE por Stern, Gossling y Fowler en 1929 (quienes lo llamaron un "área media ponderada"). [16] Para los emisores prácticos, la densidad de corriente de emisión utilizada en las ecuaciones de tipo Fowler-Nordheim es siempre la densidad de corriente en algún punto de referencia (aunque esto generalmente no se indica). La convención establecida hace mucho tiempo denota esta densidad de corriente de referencia por el símbolo simple J , y el campo local correspondiente y el factor de conversión por los símbolos simples F y β , sin el subíndice "r" usado anteriormente; en lo que sigue, se utiliza esta convención.
El área de emisión nocional A r será a menudo una función del campo local de referencia (y por lo tanto del voltaje), [30] y en algunas circunstancias podría ser una función significativa de la temperatura.
Debido a que A r tiene una definición matemática, no corresponde necesariamente al área desde la cual se observa que se produce la emisión desde un emisor de un solo punto en un microscopio electrónico de campo (emisión) . Con un emisor de gran superficie, que contiene muchos sitios de emisión individuales, A r será casi siempre muy, muy [ aclaración necesaria ] mucho menor que el área geométrica "macroscópico" ( A M ) del emisor como se observa visualmente (ver abajo).
La incorporación de estas ecuaciones auxiliares en la ecuación. (30a) rendimientos
( 33 )
Esta es la ecuación de tipo Nordheim Fowler estándar simplificado, en i - V formulario. La correspondiente ecuación "físicamente completa" se obtiene multiplicando por λ Z P F .
Ecuaciones modificadas para emisores de área grande
Las ecuaciones de la sección anterior se aplican a todos los emisores de campo que operan en el régimen de CFE. Sin embargo, los desarrollos adicionales son útiles para emisores de áreas grandes que contienen muchos sitios de emisión individuales.
Para tales emisores, el área de emisión teórica casi siempre será muy muy [se necesita aclaración ] mucho menor que el área geométrica "macroscópica" aparente ( A M ) del emisor físico como se observa visualmente. Un parámetro adimensional α r , la eficiencia del área de emisión , se puede definir por
( 34 )
Además, una densidad de corriente de emisión "macroscópica" (o "media") J M (promediada sobre el área geométrica A M del emisor) se puede definir y relacionar con la densidad de corriente de referencia J r utilizada anteriormente, mediante
( 35 )
Esto conduce a las siguientes "versiones de área grande" de la ecuación estándar simplificada de tipo Fowler-Nordheim:
( 36 )
( 37 )
Ambas ecuaciones contienen la eficiencia de área de emisión α r . Para cualquier emisor dado, este parámetro tiene un valor que generalmente no se conoce bien. En general, α r varía en gran medida como entre los diferentes materiales de emisor, y como entre diferentes muestras del mismo material preparados y procesados de diferentes maneras. Los valores en el rango de 10 −10 a 10 −6 parecen ser probables, y los valores fuera de este rango pueden ser posibles.
La presencia de α r en la ecuación. (36) explica la diferencia entre las densidades de corriente macroscópicas que a menudo se citan en la bibliografía (normalmente 10 A / m 2 para muchas formas de emisores de gran superficie distintos de las matrices de Spindt [50] ) y las densidades de corriente locales en los lugares de emisión reales , que pueden variar ampliamente pero que se cree que son generalmente del orden de 109 A / m 2 , o posiblemente un poco menos.
Una parte significativa de la literatura tecnológica sobre emisores de área grande no logra distinguir claramente entre las densidades de corriente locales y macroscópicas, o entre el área de emisión nocional A r y el área macroscópica A M , y / o omite el parámetro α r de las ecuaciones citadas. Es necesario tener cuidado para evitar errores de interpretación.
A veces también es conveniente dividir el factor de conversión β r en una "parte macroscópica" que se relaciona con la geometría general del emisor y su entorno, y una "parte local" que se relaciona con la capacidad de la estructura muy local del superficie del emisor para mejorar el campo eléctrico. Esto generalmente se hace definiendo un "campo macroscópico" F M que es el campo que estaría presente en el sitio emisor en ausencia de la estructura local que causa la mejora. Este campo F M está relacionado con el voltaje aplicado por un "factor de conversión de voltaje a campo macroscópico" β M definido por:
( 38 )
En el caso común de un sistema que comprende dos placas paralelas, separadas por una distancia W , con emisor de nanoestructuras creadas en uno de ellos, β M = 1 / W .
A continuación, se define un "factor de mejora de campo" γ y se relaciona con los valores de β r y β M mediante
( 39 )
Con eq. (31), esto genera las siguientes fórmulas:
( 40 )
( 41 )
donde, de acuerdo con la convención habitual, el sufijo "r" ahora se ha eliminado de los parámetros relacionados con el punto de referencia. Existen fórmulas para la estimación de γ , utilizando la electrostática clásica , para una variedad de formas de emisor, en particular el "hemisferio en un poste". [81]
La ecuación (40) implica que se pueden escribir versiones de las ecuaciones de tipo Fowler-Nordheim donde F o βV se reemplaza en todas partes por. Esto se hace a menudo en aplicaciones tecnológicas donde el interés principal está en el campo que mejora las propiedades de la nanoestructura del emisor local. Sin embargo, en algunos trabajos anteriores, el hecho de no hacer una distinción clara entre el campo barrera F y el campo macroscópico F M ha causado confusión o error.
De manera más general, los objetivos del desarrollo tecnológico de los emisores de campo de área grande son mejorar la uniformidad de la emisión aumentando el valor de la eficiencia del área de emisión α r , y reducir el voltaje de "inicio" al que se produce una emisión significativa, aumentando el valor de β . Eq. (41) muestra que esto se puede hacer de dos maneras: ya sea tratando de desarrollar nanoestructuras de "alta γ ", o cambiando la geometría general del sistema para que β M aumente. Existen varias compensaciones y limitaciones.
En la práctica, aunque la definición de campo macroscópico utilizada anteriormente es la más común, en la literatura se utilizan otros tipos (definidos de manera diferente) de campo macroscópico y factor de mejora de campo, particularmente en relación con el uso de sondas para investigar las características i - V de emisores individuales. [82]
En contextos tecnológicos, los datos de emisión de campo a menudo se grafican usando (una definición particular de) F M o 1 / F M como la coordenada x . Sin embargo, para el análisis científico, generalmente es mejor no manipular previamente los datos experimentales, sino trazar directamente los datos i - V medidos sin procesar . Los valores de parámetros tecnológicos como (las diversas formas de) γ pueden obtenerse a partir de los parámetros ajustados del gráfico de datos i - V (ver más abajo), utilizando las definiciones pertinentes.
Ecuaciones modificadas para emisores nanométricamente nítidos
La mayoría de las derivaciones teóricas en la teoría de la emisión de campo se realizan bajo el supuesto de que la barrera adopta la forma de Schottky-Nordheim eq. (3). Sin embargo, esta forma de barrera no es válida para emisores con radios de curvatura.comparable a la longitud de la barrera de túnel. Esto último depende de la función de trabajo y del campo, pero en casos de interés práctico, la aproximación de barrera SN puede considerarse válida para emisores con radios, como se explica en el siguiente párrafo.
El supuesto principal de la aproximación de la barrera SN es que el término de potencial electrostático toma la forma lineal en la región de los túneles. Se ha demostrado que este último es válido sólo si. [83] Por lo tanto, si la región de tunelización tiene una longitud, para todos que determina el proceso de tunelización; así que sieq. (1) se cumple y la aproximación de la barrera SN es válida. Si la probabilidad de tunelización es lo suficientemente alta como para producir una emisión de campo medible, L no excede de 1-2 nm. Por tanto, la barrera SN es válida para emisores con radios del orden de algunas decenas de nm.
Sin embargo, los emisores modernos son mucho más nítidos que éste, con radios del orden de unos pocos nm. Por lo tanto, la ecuación FN estándar, o cualquier versión de ella que asuma la barrera SN, conduce a errores significativos para emisores tan agudos. Esto se ha demostrado teóricamente [84] [85] y se ha confirmado experimentalmente. [86]
El problema anterior se abordó en la ref. [83] La barrera SN se generalizó teniendo en cuenta la curvatura del emisor. Se puede demostrar que el potencial electrostático en las proximidades de cualquier superficie metálica con radio de curvaturase puede expandir asintóticamente como
( 42 )
Además, el potencial de imagen de un emisor nítido está mejor representado por el correspondiente a una superficie metálica esférica que por una plana. Después de descuidar todotérminos, la barrera potencial total toma la forma encontrada por Kyritsakis y Xanthakis [83]
( 43 )
Si se usa la aproximación JWKB (4) para esta barrera, el exponente de Gamow toma una forma que generaliza la ecuación. (5)
( 44 )
dónde está definido por (30d), está dado por (30c) y es una nueva función que se puede aproximar de manera similar a (30c) (hay errores tipográficos en la ref., [83] corregido aquí):
( 45 )
Dada la expresión del exponente de Gamow en función de la altura de la barrera sin campo , la densidad de corriente emitida para la emisión de campo frío se puede obtener de la ec. (23). Cede
( 46 )
donde las funciones y se definen como
( 47a )
y
( 47b )
En la ecuación (46), a efectos de exhaustividad, no se aproxima por unidad como en (29) y (30a), aunque para la mayoría de los casos prácticos es una muy buena aproximación. Aparte de esto, las ecuaciones (43), (44) y (46) coinciden con las correspondientes de la teoría estándar de Fowler-Nordheim (3), (9) y (30a), en el límite; esto es de esperar ya que las primeras ecuaciones generalizan las segundas.
Finalmente, tenga en cuenta que el análisis anterior es asintótico en el límite , de manera similar a la teoría estándar de Fowler-Nordheim que usa la barrera SN. Sin embargo, la adición de los términos cuadráticos lo hace significativamente más preciso para emisores con radios de curvatura en el rango ~ 5-20 nm. Para emisores más nítidos, no existe una aproximación general para la densidad de corriente. Para obtener la densidad de corriente, hay que calcular el potencial electrostático y evaluar numéricamente la integral JWKB . Con este fin, se han desarrollado bibliotecas de software de computación científica. [87]
Ecuación empírica CFE i - V
En la etapa actual del desarrollo de la teoría CFE, es importante hacer una distinción entre ecuaciones CFE teóricas y una ecuación CFE empírica. Los primeros se derivan de la física de la materia condensada (aunque en contextos donde su desarrollo detallado es difícil). Una ecuación empírica CFE, por otro lado, simplemente intenta representar la forma experimental real de la dependencia de la corriente i en el voltaje V .
En la década de 1920, se utilizaron ecuaciones empíricas para encontrar la potencia de V que aparecía en el exponente de una ecuación semilogarítmica que se suponía que describía los resultados experimentales de CFE. En 1928, la teoría y el experimento se combinaron para demostrar que (excepto, posiblemente, para los emisores muy agudos) esta potencia es V −1 . Recientemente se ha sugerido que ahora se deberían realizar experimentos de CFE para tratar de encontrar la potencia ( κ ) de V en la pre-exponencial de la siguiente ecuación empírica de CFE: [88]
( 48 )
donde B , C y κ se tratan como constantes.
De eq. (42) se muestra fácilmente que
( 49 )
En la década de 1920, las técnicas experimentales no podían distinguir entre los resultados κ = 0 (asumido por Millikan y Laurtisen) [13] y κ = 2 (predicho por la ecuación original tipo Fowler-Nordheim). [1] Sin embargo, ahora debería ser posible realizar mediciones razonablemente precisas de dlni / d (1 / V) (si es necesario mediante el uso de amplificador de bloqueo / técnicas de detección sensibles a la fase y equipos controlados por computadora), y derivar κ de la pendiente de una gráfica de datos apropiada. [50]
Tras el descubrimiento de la aproximación (30b), ahora está muy claro que, incluso para CFE de metales a granel, no se espera el valor κ = 2. Esto se puede demostrar de la siguiente manera. Usando eq. (30c) anterior, un parámetro adimensional η puede definirse mediante
( 50 )
Para φ = 4.50 eV, este parámetro tiene el valor η = 4.64. Desde f = F / F φ y v ( f ) viene dada por la ecuación (30b), el exponente en la ecuación de tipo Nordheim Fowler estándar simplificado (30) puede escribirse en una forma alternativa y después se expandió como sigue: [69 ]
( 51 )
Siempre que el factor de conversión β sea independiente del voltaje, el parámetro f tiene la definición alternativa f = V / V φ , donde V φ es el voltaje necesario, en un sistema experimental particular, para reducir la altura de una barrera Schottky-Nordheim de φ a cero. Así, está claro que el factor v ( f ) en el exponente de la ecuación teórica (30) da lugar a una dependencia adicional V en el pre-exponencial de la ecuación empírica. Así, (para efectos debidos a la barrera de Schottky-Nordheim, y para un emisor con φ = 4.5 eV) obtenemos la predicción:
( 52 )
Dado que también puede haber dependencia del voltaje en otros factores en una ecuación de tipo Fowler-Nordheim, en particular en el área de emisión nocional [30] A r y en la función de trabajo local, no se espera necesariamente que κ para CFE de un el metal de la función de trabajo local 4.5 eV debe tener el valor κ = 1.23, pero ciertamente no hay razón para esperar que tenga el valor original de Fowler-Nordheim κ = 2. [89]
Kirk ha llevado a cabo una primera prueba experimental de esta propuesta, que utilizó una forma un poco más compleja de análisis de datos para encontrar un valor de 1,36 para su parámetro κ . Su parámetro κ es muy similar, pero no exactamente igual, al parámetro κ utilizado aquí, pero, sin embargo, sus resultados parecen confirmar la utilidad potencial de esta forma de análisis. [90]
El uso de la ecuación empírica CFE (42) y la medición de κ pueden ser de especial utilidad para los no metales. Estrictamente, las ecuaciones de tipo Fowler-Nordheim se aplican solo a la emisión de la banda de conducción de sólidos cristalinos a granel . Sin embargo, las ecuaciones empíricas de la forma (42) deberían aplicarse a todos los materiales (aunque, posiblemente, podría ser necesaria una modificación para emisores muy agudos). Parece muy probable que una de las formas en que las ecuaciones CFE para materiales más nuevos pueden diferir de las ecuaciones tipo Fowler-Nordheim es que estas ecuaciones CFE pueden tener una potencia diferente de F (o V ) en sus preexponenciales. Las mediciones de κ podrían proporcionar alguna indicación experimental de esto.
Parcelas de Fowler-Nordheim y parcelas de Millikan-Lauritsen
La ecuación teórica original derivada de Fowler y Nordheim [1] ha influido, durante los últimos 80 años, en la forma en que se han trazado y analizado los datos experimentales de EFC. En el gráfico de Fowler-Nordheim muy utilizado, presentado por Stern et al. en 1929, [16] el ln cantidad { i / V 2 } se representa frente a 1 / V . El pensamiento original era que (según lo predicho por la ecuación original o elemental del tipo de Fowler-Nordheim) esto generaría una línea recta exacta de pendiente S FN . S FN estaría relacionado con los parámetros que aparecen en el exponente de una ecuación tipo Fowler-Nordheim de forma i - V por:
( 47 )
Por tanto, el conocimiento de φ permitiría determinar β , o viceversa.
[En principio, en las geometrías del sistema donde hay una nanoestructura local que mejora el campo y se puede determinar el factor de conversión macroscópico β M , el conocimiento de β permite entonces determinar el valor del factor de mejora del campo efectivo del emisor γ a partir de la fórmula γ = β / β M . En el caso común de un emisor de película generado en una placa de una disposición de dos placas con separación de placas W (entonces β M = 1 / W ) entonces
( 48 )
Hoy en día, esta es una de las aplicaciones más probables de los gráficos de Fowler-Nordheim.]
Posteriormente quedó claro que el pensamiento original anterior es estrictamente correcto solo para la situación físicamente irreal de un emisor plano y una barrera triangular exacta. Para emisores reales y barreras reales, se debe introducir un "factor de corrección de pendiente" σ FN , lo que da como resultado la fórmula revisada.
( 49 )
El valor de σ FN estará, en principio, influenciado por cualquier parámetro en la ecuación de tipo Fowler-Nordheim físicamente completa para i ( V ) que tenga una dependencia del voltaje.
En la actualidad, el único parámetro que se considera importante es el factor de corrección relativa a la forma de la barrera, y la única barrera para la que existe una teoría detallada bien establecida es la barrera de Schottky-Nordheim. En este caso, σ FN viene dada por una función matemática llamada s . Esta función s fue tabulada correctamente por primera vez (en función del parámetro y de Nordheim ) por Burgess, Kroemer y Houston en 1953; [71] y se da un tratamiento moderno que da s en función del campo de barrera escalado f para una barrera de Schottky-Nordheim. [69] Sin embargo, ha estado claro desde hace mucho tiempo que, para la operación práctica del emisor, el valor de s se encuentra en el rango de 0,9 a 1.
En la práctica, debido a la complejidad adicional que implica tener en cuenta el factor de corrección de la pendiente, muchos autores (en efecto) ponen σ FN = 1 en la ecuación. (49), generando así un error sistemático en sus valores estimados de β y / o γ , que generalmente se cree que ronda el 5%.
Sin embargo, la ecuación empírica (42) - que en principio es más general que las ecuaciones de tipo Nordheim Fowler - trae consigo posibles nuevas formas de analizar emisión de campo i - V de datos. En general, se puede suponer que el parámetro B en la ecuación empírica está relacionado con la altura no reducida H de alguna barrera característica vista por los electrones tunelizados por
( 50 )
(En la mayoría de los casos, pero no necesariamente en todos, H sería igual a la función de trabajo local; ciertamente, esto es cierto para los metales). La cuestión es cómo determinar el valor de B mediante el experimento. Hay dos formas obvias. (1) Suponga que la ecuación. (43) se puede utilizar para determinar un valor experimental razonablemente preciso de κ , a partir de la pendiente de una gráfica de la forma [−d ln { i } / d (1 / V ) frente a V ]. En este caso, una segunda trama, de ln ( i ) / V κ vs. 1 / V , debe ser una línea exacta recta de pendiente - B . Este enfoque debe ser la forma más exacta de determinar B .
(2) Alternativamente, si el valor de κ no se conoce con exactitud y no se puede medir con precisión, pero se puede estimar o adivinar, entonces se puede derivar un valor para B a partir de una gráfica de la forma [ln { i } vs. 1 / V ]. Ésta es la forma de trama utilizada por Millikan y Lauritsen en 1928. Reorganizando la ec. (43) da
( 51 )
Por lo tanto, B se puede determinar, con un buen grado de aproximación, determinando la pendiente media de un gráfico de Millikan-Lauritsen en un rango de valores de 1 / V , y aplicando una corrección, utilizando el valor de 1 / V en el punto medio del rango y un valor supuesto de κ .
Las principales ventajas de utilizar una gráfica de Millikan-Lauritsen y esta forma de procedimiento de corrección, en lugar de una gráfica de Fowler-Nordheim y un factor de corrección de pendiente, son las siguientes. (1) El procedimiento de trazado es un poco más sencillo. (2) La corrección involucra un parámetro físico ( V ) que es una cantidad medida, en lugar de un parámetro físico ( f ) que debe calcularse [para luego calcular un valor de s ( f ) o, más generalmente, σ FN ( f )]. (3) Tanto el parámetro κ como el procedimiento de corrección son más transparentes (y más fáciles de entender) que los equivalentes de la gráfica de Fowler-Nordheim. (4) Este procedimiento tiene en cuenta todos los efectos físicos que influyen en el valor de κ , mientras que el procedimiento de corrección del gráfico de Fowler-Nordheim (en la forma en que se ha llevado a cabo durante los últimos 50 años) tiene en cuenta solo esos efectos asociado con la forma de la barrera, asumiendo, además, que esta forma es la de una barrera Schottky-Nordheim. (5) Hay una separación más clara de las preocupaciones teóricas y tecnológicas: los teóricos estarán interesados en establecer qué información proporcionan los valores medidos de κ sobre la teoría CFE; pero los experimentadores pueden simplemente usar valores medidos de κ para hacer estimaciones más precisas (si es necesario) de los factores de mejora del campo. [ cita requerida ]
Este procedimiento de corrección para los gráficos de Millikan-Lauritsen será más fácil de aplicar cuando se haya realizado un número suficiente de mediciones de κ y se disponga de una mejor idea de cuáles son realmente los valores típicos. En la actualidad, parece probable que para la mayoría de los materiales, κ se encuentre en el rango -1 < κ <3. [ cita requerida ]
Más información teórica
Desarrollar la teoría aproximada de CFE a partir de los metales anteriores es comparativamente fácil, por las siguientes razones. (1) La teoría de los electrones libres de Sommerfeld , con sus supuestos particulares sobre la distribución de los estados internos de los electrones en la energía, se aplica adecuadamente a muchos metales como primera aproximación. (2) La mayoría de las veces, los metales no tienen estados superficiales y (en muchos casos) las funciones de onda del metal no tienen " resonancias superficiales " significativas . (3) Los metales tienen una alta densidad de estados en el nivel de Fermi, por lo que la carga que genera / apantalla los campos eléctricos externos se encuentra principalmente en el exterior de la capa atómica superior y no se produce una "penetración de campo" significativa. (4) Los metales tienen alta conductividad eléctrica : no ocurren caídas de voltaje significativas dentro de los emisores metálicos: esto significa que no hay factores que obstruyan el suministro de electrones a la superficie emisora, y que los electrones en esta región pueden estar ambos en equilibrio termodinámico local efectivo y en equilibrio termodinámico efectivo con los electrones en la estructura de soporte metálico sobre la que está montado el emisor. (5) Se ignoran los efectos a nivel atómico. [ cita requerida ]
El desarrollo de teorías "simples" de emisión de electrones de campo, y en particular el desarrollo de ecuaciones de tipo Fowler-Nordheim, se basa en que los cinco factores anteriores sean ciertos. Para materiales que no sean metales (y para emisores metálicos atómicamente afilados), uno o más de los factores anteriores serán falsos. Por ejemplo, los semiconductores cristalinos no tienen una estructura de banda similar a un electrón libre, tienen estados de superficie, están sujetos a penetración de campo y flexión de banda , y pueden exhibir caídas de voltaje internas y desacoplamiento estadístico de la distribución de electrones en estado de superficie de la distribución de electrones en la región de la superficie de la estructura de bandas en masa (este desacoplamiento se conoce como "el efecto Modinos"). [33] [91]
En la práctica, la teoría del proceso real de tunelización de Fowler-Nordheim es muy similar para todos los materiales (aunque los detalles de la forma de la barrera pueden variar, y la teoría modificada debe desarrollarse para estados iniciales que están localizados en lugar de ondas viajeras. ). Sin embargo, a pesar de tales diferencias, se espera (para situaciones de equilibrio termodinámico ) que todas las ecuaciones de EFC tengan exponentes que se comporten de manera generalmente similar. Esta es la razón por la que la aplicación de ecuaciones de tipo Fowler-Nordheim a materiales fuera del alcance de las derivaciones dadas aquí a menudo funciona. Si el interés está solo en los parámetros (como el factor de mejora del campo) que se relacionan con la pendiente de las gráficas de Fowler-Nordheim o Millikan-Lauritsen y con el exponente de la ecuación CFE, entonces la teoría de tipo Fowler-Nordheim a menudo dará estimaciones razonables. Sin embargo, los intentos de derivar valores de densidad de corriente significativos fallarán generalmente o siempre.
Tenga en cuenta que una línea recta en una gráfica de Fowler-Nordheim o Millikan-Lauritsen no indica que la emisión del material correspondiente obedezca a una ecuación del tipo de Fowler-Nordheim: solo indica que el mecanismo de emisión para electrones individuales es probablemente un túnel de Fowler-Nordheim. [ cita requerida ]
Los diferentes materiales pueden tener distribuciones de energía radicalmente diferentes de sus estados electrónicos internos, por lo que el proceso de integración de las contribuciones de densidad de corriente sobre los estados de electrones internos puede dar lugar a expresiones significativamente diferentes para los preexponenciales de densidad de corriente, para diferentes clases de material. . En particular, la potencia del campo de barrera que aparece en el preexponencial puede ser diferente del valor "2" original de Fowler-Nordheim. La investigación de efectos de este tipo es un tema de investigación activo. Los efectos de "resonancia" y " dispersión " a nivel atómico , si ocurren, también modificarán la teoría.
Cuando los materiales están sujetos a la penetración del campo y la flexión de la banda, un preliminar necesario es tener buenas teorías de tales efectos (para cada clase diferente de material) antes de que se puedan desarrollar teorías detalladas de CFE. Cuando se producen efectos de caída de tensión, la teoría de la corriente de emisión puede, en mayor o menor medida, convertirse en teoría que implique efectos de transporte interno, y puede llegar a ser muy compleja.
Ver también
- Microscopio de emisión de campo
- Sondas de emisión de campo
- Matriz de emisores de campo
- Pantalla de emisión de campo
- Efecto Franz-Keldysh
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