Fórmula de Frank-Tamm

La fórmula de Frank-Tamm produce la cantidad de radiación de Cherenkov emitida en una frecuencia dada cuando una partícula cargada se mueve a través de un medio a una velocidad superluminal. Lleva el nombre de los físicos rusos Ilya Frank e Igor Tamm, quienes desarrollaron la teoría del efecto Cherenkov en 1937, por lo que fueron galardonados con el Premio Nobel de Física en 1958.

Cuando una partícula cargada se mueve más rápido que la velocidad de fase de la luz en un medio, los electrones que interactúan con la partícula pueden emitir fotones coherentes mientras conservan energía y momento . Este proceso puede verse como una descomposición. Consulte las condiciones de radiación y no radiación de Cherenkov para obtener una explicación de este efecto.

Ecuación

La energía emitida por unidad de longitud recorrida por la partícula por unidad de frecuencia es:${\displaystyle dE}$ ${\displaystyle d\omega }$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}E}{dx\,d\omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi }}\mu (\omega )\omega {\left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)}}$$

siempre que . Aquí y son la permeabilidad dependiente de la frecuencia y el índice de refracción del medio respectivamente, es la carga eléctrica de la partícula, es la velocidad de la partícula y es la velocidad de la luz en el vacío.${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}>{\frac {1}{n(\omega )}}}$${\displaystyle \mu (\omega )}$${\displaystyle n(\omega )}$${\displaystyle q}$${\displaystyle v}$${\displaystyle c}$

La radiación de Cherenkov no tiene picos espectrales característicos, como los típicos de los espectros de fluorescencia o emisión. La intensidad relativa de una frecuencia es aproximadamente proporcional a la frecuencia. Es decir, las frecuencias más altas (longitudes de onda más cortas) son más intensas en la radiación de Cherenkov. Esta es la razón por la que se observa que la radiación de Cherenkov visible es de un azul brillante. De hecho, la mayor parte de la radiación de Cherenkov se encuentra en el espectro ultravioleta; la sensibilidad del ojo humano alcanza su punto máximo en verde y es muy baja en la porción violeta del espectro.

La cantidad total de energía radiada por unidad de longitud es:

$${\displaystyle {\frac {dE}{dx}}={\frac {q^{2}}{4\pi }}\int _{v>{\frac {c}{n(\omega )}}}\mu (\omega )\omega {\left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)}d\omega }$$

Esta integral se realiza sobre las frecuencias para las cuales la velocidad de la partícula es mayor que la velocidad de la luz del medio . La integral es convergente (finita) porque a altas frecuencias el índice de refracción se vuelve menor que la unidad y para frecuencias extremadamente altas se vuelve la unidad. ^{[nota 1] [nota 2]}${\displaystyle \omega }$${\displaystyle v}$${\textstyle {\frac {c}{n(\omega )}}}$

Derivación de la fórmula de Frank-Tamm

Considere una partícula cargada que se mueve relativistamente a lo largo del eje-en un medio con índice de refracción ^{[nota 3]} con una velocidad constante . Comience con las ecuaciones de Maxwell (en unidades gaussianas ) en las formas de onda (también conocida como condición de calibre de Lorenz ) y tome la transformación de Fourier:${\displaystyle x}$${\textstyle n(\omega )={\sqrt {\epsilon (\omega )}}}$${\displaystyle {\vec {v}}=(v,0,0)}$

$${\displaystyle \left(k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\epsilon (\omega )\right)\Phi ({\vec {k}},\omega )={\frac {4\pi }{\epsilon (\omega )}}\rho ({\vec {k}},\omega )}$$

$${\displaystyle \left(k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\epsilon (\omega )\right){\vec {A}}({\vec {k}},\omega )={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}({\vec {k}},\omega )}$$

Para una carga de magnitud (donde está la carga elemental ) que se mueve con velocidad , la densidad y la densidad de carga se pueden expresar como y , tomando la transformación de Fourier ^{[nota 4] se} obtiene:${\displaystyle ze}$${\displaystyle e}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \rho ({\vec {x}},t)=ze\delta ({\vec {x}}-{\vec {v}}t)}$${\displaystyle {\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)}$

$${\displaystyle \rho ({\vec {k}},\omega )={\frac {ze}{2\pi }}\delta (\omega -{\vec {k}}\cdot {\vec {v}})}$$

$${\displaystyle {\vec {J}}({\vec {k}},\omega )={\vec {v}}\rho ({\vec {k}},\omega )}$$

Sustituyendo esta densidad y corriente de carga en la ecuación de onda, podemos resolver los potenciales en forma de Fourier:

$${\displaystyle \Phi ({\vec {k}},\omega )={\frac {2ze}{\epsilon (\omega )}}{\frac {\delta (\omega -{\vec {k}}\cdot {\vec {v}})}{k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\epsilon (\omega )}}}$$

y

$${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {k}},\omega )=\epsilon (\omega ){\frac {\vec {v}}{c}}\Phi ({\vec {k}},\omega )}$$

Usando la definición de los campos electromagnéticos en términos de potenciales, tenemos la forma de Fourier del campo eléctrico y magnético:

$${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {k}},\omega )=i\left({\frac {\omega \epsilon (\omega )}{c}}{\frac {\vec {v}}{c}}-{\vec {k}}\right)\Phi ({\vec {k}},\omega )}$$

y

$${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {k}},\omega )=i\epsilon (\omega ){\vec {k}}\times {\frac {\vec {v}}{c}}\Phi ({\vec {k}},\omega )}$$

Para encontrar la energía radiada, consideramos el campo eléctrico como una función de la frecuencia a una distancia perpendicular de la trayectoria de la partícula, digamos, en , donde está el parámetro de impacto. Está dado por la transformada inversa de Fourier:${\displaystyle (0,b,0)}$${\displaystyle b}$

$${\displaystyle {\vec {E}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int d^{3}k\,{\vec {E}}({\vec {k}},\omega )e^{ibk_{2}}}$$

Primero calculamos el componente del campo eléctrico (paralelo a ):${\displaystyle x}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$

$${\displaystyle E_{1}(\omega )={\frac {2ize}{\epsilon (\omega )(2\pi )^{3/2}}}\int d^{3}ke^{ibk_{2}}\left({\frac {\omega \epsilon (\omega )v}{c^{2}}}-k_{1}\right){\frac {\delta (\omega -vk_{1})}{k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\epsilon (\omega )}}}$$

Por brevedad definimos . Al dividir la integral en , la integral se puede integrar inmediatamente mediante la definición del Delta de Dirac:${\textstyle \lambda ^{2}={\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\epsilon (\omega )={\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\left(1-\beta ^{2}\epsilon (\omega )\right)}$${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3}}$${\displaystyle k_{1}}$

$${\displaystyle E_{1}(\omega )=-{\frac {2ize\omega }{v^{2}(2\pi )^{3/2}}}\left({\frac {1}{\epsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)\int _{-\infty }^{\infty }dk_{2}e^{ibk_{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dk_{3}}{k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+\lambda ^{2}}}}$$

La integral sobre tiene el valor , dando:${\displaystyle k_{3}}$${\textstyle {\frac {\pi }{\left(\lambda ^{2}+k_{2}^{2}\right)^{1/2}}}}$

$${\displaystyle E_{1}(\omega )=-{\frac {ize\omega }{v^{2}{\sqrt {2\pi }}}}\left({\frac {1}{\epsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)\int _{-\infty }^{\infty }dk_{2}{\frac {e^{ibk_{2}}}{(\lambda ^{2}+k_{2}^{2})^{1/2}}}}$$

La última integral sobre tiene la forma de una función de Bessel modificada (Macdonald) , dando el componente paralelo evaluado en la forma:${\displaystyle k_{2}}$

$${\displaystyle E_{1}(\omega )=-{\frac {ize\omega }{v^{2}}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}\left({\frac {1}{\epsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)K_{0}(\lambda b)}$$

Se puede seguir un patrón de cálculo similar para los otros componentes de los campos que llegan a:

${\displaystyle E_{2}(\omega )={\frac {ze}{v}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {\lambda }{\epsilon (\omega )}}K_{1}(\lambda b),\quad E_{3}=0\quad }$ y ${\displaystyle \quad B_{1}=B_{2}=0,\quad B_{3}(\omega )=\epsilon (\omega )\beta E_{2}(\omega )}$

Ahora podemos considerar la energía radiada por la distancia recorrida por la partícula . Puede expresarse a través del flujo de energía electromagnética a través de la superficie de un cilindro infinito de radio alrededor de la trayectoria de la partícula en movimiento, que viene dada por la integral del vector de Poynting sobre la superficie del cilindro:${\displaystyle dE}$${\displaystyle dx_{\text{particle}}}$${\displaystyle P_{a}}$${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbf {S} =c/(4\pi )[\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]}$

$${\displaystyle \left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}={\frac {1}{v}}P_{a}=-{\frac {c}{4\pi v}}\int _{-\infty }^{\infty }2\pi aB_{3}E_{1}dx}$$

La integral en un instante de tiempo es igual a la integral en un punto en todo el tiempo. Utilizando :${\displaystyle dx}$${\displaystyle dx=v\,dt}$

$${\displaystyle \left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}=-{\frac {ca}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }B_{3}(t)E_{1}(t)dt}$$

Convirtiendo esto al dominio de frecuencia:

$${\displaystyle \left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}=-ca\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\infty }B_{3}^{*}(\omega )E_{1}(\omega )d\omega \right)}$$

Para entrar en el dominio de la radiación Cherenkov, que ahora consideramos distancia perpendicular mucho mayor que las distancias atómicas en un medio, es decir, . Con esta suposición podemos expandir las funciones de Bessel en su forma asintótica:${\displaystyle b}$${\displaystyle |\lambda b|\gg 1}$

$${\displaystyle E_{1}(\omega )\rightarrow {\frac {ize\omega }{c^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\epsilon (\omega )}}\right){\frac {e^{-\lambda b}}{\sqrt {\lambda b}}}}$$

${\displaystyle E_{2}(\omega )\rightarrow {\frac {ze}{v\epsilon (\omega )}}{\sqrt {\frac {\lambda }{b}}}e^{-\lambda b}}$ y ${\displaystyle B_{3}(\omega )=\epsilon (\omega )\beta E_{2}(\omega )}$

Por lo tanto:

$${\displaystyle \left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}=\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{2}e^{2}}{c^{2}}}\left(-i{\sqrt {\frac {\lambda ^{*}}{\lambda }}}\right)\omega \left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\epsilon (\omega )}}\right)e^{-(\lambda +\lambda ^{*})a}d\omega \right)}$$

Si tiene una parte real positiva (generalmente verdadera), la exponencial hará que la expresión desaparezca rápidamente a grandes distancias, lo que significa que toda la energía se deposita cerca del camino. Sin embargo, esto no es cierto cuando es puramente imaginario; en cambio, esto hace que la exponencial se convierta en 1 y luego sea independiente de , lo que significa que parte de la energía escapa al infinito como radiación: esta es la radiación de Cherenkov.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \lambda }$es puramente imaginario si es real y . Es decir, cuando es real, la radiación de Cherenkov tiene la condición de que . Esta es la afirmación de que la velocidad de la partícula debe ser mayor que la velocidad de fase de los campos electromagnéticos en el medio a frecuencia para tener radiación de Cherenkov. Con esta condición puramente imaginaria , y la integral se puede simplificar a:${\displaystyle \epsilon (\omega )}$${\displaystyle \beta ^{2}\epsilon (\omega )>1}$${\displaystyle \epsilon (\omega )}$${\textstyle v>{\frac {c}{{\sqrt {\epsilon (\omega }})}}={\frac {c}{n}}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \lambda }$${\textstyle {\sqrt {{\lambda ^{*}}/{\lambda }}}=i}$

$${\displaystyle \left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}={\frac {z^{2}e^{2}}{c^{2}}}\int _{\epsilon (\omega )>{\frac {1}{\beta ^{2}}}}\omega \left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\epsilon (\omega )}}\right)d\omega ={\frac {z^{2}e^{2}}{c^{2}}}\int _{v>{\frac {c}{n(\omega )}}}\omega \left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)d\omega }$$

Ésta es la ecuación de Frank-Tamm en unidades gaussianas. ^[1]

Notas

1. El índice de refracción n se define como la relación entre la velocidad de la radiación electromagnética en el vacío y la velocidad de fase de las ondas electromagnéticas en un medio y, en circunstancias específicas, puede llegar a ser inferior a uno. Consulte el índice de refracción para obtener más información.
2. El índice de refracción puede llegar a ser menor que la unidad cerca de la frecuencia de resonancia, pero a frecuencias extremadamente altas, el índice de refracción se convierte en la unidad.
3. Por simplicidad, consideramos la permeabilidad magnética.${\displaystyle \mu (\omega )=1}$
4. Usamos notación de ingeniería para la transformada de Fourier, donde losfactores aparecen tanto en transformadas directas como inversas.${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

Referencias

1. Jackson, John (1999). Electrodinámica clásica . John Wiley & Sons, Inc. pp.  646 -654. ISBN 978-0-471-30932-1.

• Mead, CA (1958). "Teoría cuántica del índice de refracción". Revisión física . 110 (2): 359. Bibcode : 1958PhRv..110..359M . doi : 10.1103 / PhysRev.110.359 .
• Cerenkov, PA (1937). "Radiación visible producida por electrones que se mueven en un medio con velocidades superiores a la de la luz". Revisión física . 52 (4): 378. Bibcode : 1937PhRv ... 52..378C . doi : 10.1103 / PhysRev.52.378 .

enlaces externos

• Radiación de Cherenkov (etiquetada como 'fórmula de Frank-Tamm')