Presentacion libre

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En álgebra , una presentación libre de un módulo M sobre un anillo conmutativo R es una secuencia exacta de R -módulos:

Tenga en cuenta la imagen bajo g de la base estándar genera M . En particular, si J es finito, entonces M es un módulo generado finitamente . Si I y J son conjuntos finitos, entonces la presentación se llama presentación finita ; un módulo se denomina presentado de forma finita si admite una presentación finita.

Dado que f es un homomorfismo de módulo entre módulos libres, se puede visualizar como una matriz (infinita) con entradas en R y M como su cokernel.

Una presentación libre siempre existe: cualquier módulo es un cociente de un módulo libre: , pero entonces el núcleo de g es de nuevo un cociente de un módulo libre: . La combinación de f y g es una presentación libre de M . Ahora, obviamente, uno puede seguir "resolviendo" los núcleos de esta manera; el resultado se llama resolución libre . Por lo tanto, una presentación gratuita es la primera parte de la resolución libre.${\ Displaystyle F {\ overset {g} {\ to}} M \ to 0}$${\displaystyle F'{\overset {f}{\to }}\ker g\to 0}$

Una presentación es útil para realizar cálculos. Por ejemplo, dado que la tensión es exacta a la derecha, la tensión de la presentación anterior con un módulo, digamos N , da:

Esto dice que es el cokernel de . Si N es un álgebra R , entonces esta es la presentación del módulo N ; es decir, la presentación se extiende por debajo de la extensión base.${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle f\otimes 1}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

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