Triángulo de Fuhrmann

El triángulo de Fuhrmann , llamado así por Wilhelm Fuhrmann (1833-1904), es un triángulo especial basado en un triángulo arbitrario dado.

Para un triángulo dado y su circunferencia circunscrita, los puntos medios de los arcos sobre los lados del triángulo se denotan por . Esos puntos medios se reflejan en los lados del triángulo asociado dando lugar a los puntos , lo que forma el triángulo de Fuhrmann . ^{[1] [2]}${\ estilo de visualización \ triángulo ABC}$${\displaystyle M_{a},M_{b},M_{c}}$${\displaystyle M_{a}^{\principal},M_{b}^{\principal},M_{c}^{\principal}}$

El circuncírculo del triángulo de Fuhrmann es el círculo de Fuhrmann . Además, el triángulo de Furhmann es similar al triángulo formado por los puntos del arco medio, es decir . ^[1] Para el área del triángulo de Fuhrmann se cumple la siguiente fórmula: ^[3]${\displaystyle \triángulo M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }\sim \triángulo M_{a}M_{b}M_{c}}$

Donde denota el circuncentro del triángulo dado y su radio, así como el incentro y su radio. Debido al teorema de Euler también se tiene . Las siguientes ecuaciones se cumplen para los lados del triángulo de Fuhrmann: ^[3]${\ estilo de visualización O}$${\ estilo de visualización \ triángulo ABC}$${\ estilo de visualización R}$${\ estilo de visualización yo}$${\ estilo de visualización r}$${\displaystyle |OI|^{2}=R(R-2r)}$

Donde denota los lados del triángulo dado y los lados del triángulo de Fuhrmann (ver dibujo).${\ estilo de visualización a, b, c}$${\ estilo de visualización \ triángulo ABC}$${\displaystyle a^{\principal},b^{\principal},c^{\principal}}$

Triángulo de Fuhrmann (rojo): puntos del arco medio:${\displaystyle \triángulo M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }}$
${\displaystyle M_{a},M_{b},M_{c}}$

Triángulo de Fuhrmann (rojo):${\displaystyle \triángulo M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }}$
${\displaystyle \triángulo M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }\sim \triángulo M_{a}M_{b}M_{c}}$