En geometría , el teorema de Euler establece que la distancia d entre el circuncentro y el incentro de un triángulo está dada por [1] [2]
o equivalente
dónde y denotan el circunradio y el radio interior respectivamente (los radios del círculo circunscrito y el círculo inscrito respectivamente). El teorema lleva el nombre de Leonhard Euler , quien lo publicó en 1765. [3] Sin embargo, el mismo resultado fue publicado anteriormente por William Chapple en 1746. [4]
Del teorema se sigue la desigualdad de Euler : [5] [6]
que se mantiene con igualdad solo en el caso equilátero . [7]
Versión más fuerte de la desigualdad
Una versión más fuerte [7] es
dónde , , y son las longitudes de los lados del triángulo.
Teorema de Euler para el círculo escrito
Si y denotar respectivamente el radio del círculo escrito opuesto al vértice y la distancia entre su centro y el centro del círculo circunscrito, entonces .
Desigualdad de Euler en geometría absoluta
La desigualdad de Euler, en la forma que establece que, para todos los triángulos inscritos en un círculo dado, el máximo del radio del círculo inscrito se alcanza para el triángulo equilátero y solo para él, es válida en geometría absoluta . [8]
Ver también
- Teorema de Fuss para la relación entre las mismas tres variables en cuadriláteros bicéntricos
- Teorema de cierre de Poncelet , que muestra que hay una infinidad de triángulos con los mismos dos círculos (y, por lo tanto, los mismos R , r y d )
- Lista de desigualdades de triángulos
Referencias
- ^ Johnson, Roger A. (2007) [1929], Geometría euclidiana avanzada , Dover Publ., P. 186
- ^ Dunham, William (2007), The Genius of Euler: Reflections on his Life and Work , Spectrum Series, 2 , Asociación Matemática de América, p. 300, ISBN 9780883855584
- ^ Leversha, Gerry; Smith, GC (noviembre de 2007), "Euler and triangle geometry", The Mathematical Gazette , 91 (522): 436–452, JSTOR 40378417
- ^ Chapple, William (1746), "Un ensayo sobre las propiedades de los triángulos inscritos y circunscritos alrededor de dos círculos dados" , Miscellanea Curiosa Mathematica , 4 : 117-124. La fórmula para la distancia está cerca del final de la p.123.
- ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), When Less is More: Visualizing Basic Inequalities , Dolciani Mathematical Expositions, 36 , Asociación Matemática de América, p. 56, ISBN 9780883853429
- ^ Debnath, Lokenath (2010), El legado de Leonhard Euler: Un tributo tricentenario , World Scientific, p. 124, ISBN 9781848165250
- ^ a b Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012), "Versiones no euclidianas de algunas desigualdades clásicas de triángulos" , Forum Geometricorum , 12 : 197-209; ver p. 198
- ^ Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2018), "La desigualdad de Euler en geometría absoluta", Journal of Geometry , 109 (Art. 8): 1–11, doi : 10.1007 / s00022-018-0414-6