Teorema fundamental de la teoría K algebraica

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En álgebra , el teorema fundamental de la teoría K algebraica describe los efectos de cambiar el anillo de grupos K de un anillo R a o . El teorema se demostró por primera vez por Hyman Bass para y más tarde se amplió a mayores K -grupos por Daniel Quillen .${\ Displaystyle R [t]}$${\ Displaystyle R [t, t ^ {- 1}]}$${\ Displaystyle K_ {0}, K_ {1}}$

Sea la teoría algebraica K de la categoría de módulos generados finitamente sobre un anillo noetheriano R ; explícitamente, podemos tomar , donde viene dado por la construcción Q de Quillen . Si R es un anillo ordinario (es decir, tiene finito dimensión global ), entonces el i -ésimo K-grupo de R . ^[1] Esta es una consecuencia inmediata del teorema de resolución , que compara las teorías K de dos categorías diferentes (con relación de inclusión).${\ Displaystyle G_ {i} (R)}$${\ Displaystyle G_ {i} (R) = \ pi _ {i} (B ^ {+} {\ text {f-gen-Mod}} _ {R})}$${\ Displaystyle B ^ {+} = \ Omega BQ}$${\ Displaystyle G_ {i} (R) = K_ {i} (R),}$

La prueba del teorema utiliza el Q-construcción . También hay una versión del teorema para el caso singular (para ); esta es la versión probada en el artículo de Grayson.${\ Displaystyle K_ {i}}$

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