En álgebra conmutativa , un anillo local regular es un anillo local noetheriano que tiene la propiedad de que el número mínimo de generadores de su ideal máximo es igual a su dimensión de Krull . En símbolos, sea A un anillo local noetheriano con el ideal máximo m, y suponga que a 1 , ..., a n es un conjunto mínimo de generadores de m. Entonces por director teorema el ideal de Krull n ≥ dim A , y A se define para ser regular si n = dim A .
La denominación regular se justifica por el significado geométrico. Un punto x en una variedad algebraica X no es singular si y solo si el anillo localde gérmenes en x es regular. (Ver también: esquema regular ). Los anillos locales regulares no están relacionados con los anillos regulares de von Neumann . [1]
Para los anillos locales noetherianos, existe la siguiente cadena de inclusiones:
Caracterizaciones
Hay varias definiciones útiles de un anillo local regular, una de las cuales se menciona anteriormente. En particular, si es un anillo local noetheriano con un ideal máximo , entonces las siguientes son definiciones equivalentes
- Dejar dónde se elige lo más pequeño posible. Luego es regular si
- ,
- donde la dimensión es la dimensión de Krull. El conjunto mínimo de generadores de luego se denominan sistema regular de parámetros .
- Dejar ser el campo de residuos de . Luego es regular si
- ,
- donde la segunda dimensión es la dimensión Krull .
- Dejar ser la dimensión global de(es decir, el supremo de las dimensiones proyectivas de todos-módulos.) Entonces es regular si
- ,
- en ese caso, .
El criterio de multiplicidad uno establece: [2] si la terminación de un anillo local noetheriano A no está mezclada (en el sentido de que no hay un divisor primo incrustado del ideal cero y para cada primo mínimo p ,) y si la multiplicidad de A es uno, entonces A es regular. (Lo contrario siempre es cierto: la multiplicidad de un anillo local regular es uno). Este criterio corresponde a una intuición geométrica en geometría algebraica de que un anillo local de una intersección es regular si y solo si la intersección es una intersección transversal .
En el caso de característica positiva, existe el siguiente resultado importante debido a Kunz: Un anillo local noetheriano de característica positiva p es regular si y sólo si el morfismo de Frobenius es plano yse reduce . No se conoce un resultado similar en la característica cero (solo porque no está claro cómo reemplazar a Frobenius).
Ejemplos de
- Cada campo es un anillo local regular. Estos tienen (Krull) dimensión 0. De hecho, los campos son exactamente los anillos locales regulares de dimensión 0.
- Cualquier anillo de valoración discreto es un anillo local regular de dimensión 1 y los anillos locales regulares de dimensión 1 son exactamente los anillos de valoración discretos. Específicamente, si k es un campo y X es un indeterminado, entonces el anillo de la serie de potencia formal k [[ X ]] es un anillo local regular que tiene (Krull) dimensión 1.
- Si p es un número primo ordinario, el anillo de enteros p-ádicos es un ejemplo de un anillo de valoración discreto y, en consecuencia, un anillo local regular, que no contiene un campo.
- De manera más general, si k es un campo y X 1 , X 2 , ..., X d son indeterminados, entonces el anillo de la serie de potencias formales k [[ X 1 , X 2 , ..., X d ]] es un anillo local regular que tiene dimensión (Krull) d .
- Si A es un anillo local regular, entonces se deduce que el anillo formal de la serie de potencias A [[ x ]] es local regular.
- Si Z es el anillo de números enteros y X es un indeterminado, el anillo Z [ X ] (2, X ) (es decir, el anillo Z [ X ] localizado en el ideal primo (2, X )) es un ejemplo de 2- anillo local regular dimensional que no contiene un campo.
- Según el teorema de la estructura de Irvin Cohen , un anillo local regular completo de características iguales de dimensión d de Krull y que contiene un campo es un anillo en serie de potencias sobre un campo.
No ejemplos
El anillo no es un anillo local regular ya que es de dimensión finita pero no tiene una dimensión global finita. Por ejemplo, hay una resolución infinita
- Utilizando otra de las caracterizaciones, tiene exactamente un ideal primo , entonces el anillo tiene dimensión Krull , pero es el ideal cero, entonces posee dimensión al menos . (De hecho es igual a desde es una base.)
Propiedades básicas
El teorema de Auslander-Buchsbaum establece que cada anillo local regular es un dominio de factorización único .
Cada localización de un anillo local regular es regular.
La realización de un anillo local regular es regular.
Si es un anillo local regular completo que contiene un campo, luego
- ,
dónde es el campo de residuos , y, la dimensión Krull.
Ver también: la desigualdad de Serre en altura y las conjeturas de multiplicidad de Serre .
Origen de las nociones básicas
Los anillos locales regulares fueron originalmente definidos por Wolfgang Krull en 1937, [3] pero se hicieron prominentes en el trabajo de Oscar Zariski unos años más tarde, [4] [5] quien demostró que geométricamente, un anillo local regular corresponde a un suave apuntar en una variedad algebraica . Sea Y una variedad algebraica contenida en un espacio n afín sobre un campo perfecto, y suponga que Y es el lugar geométrico de fuga de los polinomios f 1 , ..., f m . Y es no singular en P si Y satisface una condición jacobiana : Si M = (∂ f i / ∂ x j ) es la matriz de derivadas parciales de las ecuaciones definitorias de la variedad, entonces el rango de la matriz encontrado al evaluar M en P está n - dim Y . Zariski demostró que Y no es singular en P si y solo si el anillo local de Y en P es regular. (Zariski observó que esto puede fallar en campos no perfectos). Esto implica que la suavidad es una propiedad intrínseca de la variedad, en otras palabras, no depende de dónde o cómo la variedad se inserta en un espacio afín. También sugiere que los anillos locales regulares deberían tener buenas propiedades, pero antes de la introducción de técnicas del álgebra homológica se sabía muy poco en esta dirección. Una vez que se introdujeron estas técnicas en la década de 1950, Auslander y Buchsbaum demostraron que cada anillo local regular es un dominio de factorización único .
Otra propiedad sugerida por la intuición geométrica es que la localización de un anillo local regular debería volver a ser regular. Una vez más, esto quedó sin resolver hasta la introducción de técnicas homológicas. Fue Jean-Pierre Serre quien encontró una caracterización homológica de anillos locales regulares: un anillo local A es regular si y solo si A tiene una dimensión global finita , es decir, si cada módulo A tiene una resolución proyectiva de longitud finita. Es fácil mostrar que la propiedad de tener una dimensión global finita se conserva bajo la localización y, en consecuencia, que las localizaciones de anillos locales regulares en ideales primarios son nuevamente regulares.
Esto nos permite definir la regularidad para todos los anillos conmutativos, no solo los locales: se dice que un anillo conmutativo A es un anillo regular si sus localizaciones en todos sus ideales principales son anillos locales regulares. Si A es de dimensión finita, equivale a decir que A tiene una dimensión global finita.
Anillo regular
En álgebra conmutativa , un anillo regular es un anillo noetheriano conmutativo , de modo que la localización en cada ideal primo es un anillo local regular : es decir, cada localización tiene la propiedad de que el número mínimo de generadores de su ideal máximo es igual a su Dimensión Krull .
El origen del término anillo regular radica en el hecho de que una variedad afín es no singular (es decir, cada punto es regular ) si y solo si su anillo de funciones regulares es regular.
Para anillos regulares, la dimensión de Krull concuerda con la dimensión homológica global .
Jean-Pierre Serre definió un anillo regular como un anillo noetheriano conmutativo de dimensión homológica global finita . Su definición es más fuerte que la definición anterior, lo que permite anillos regulares de dimensión infinita de Krull.
Los ejemplos de anillos regulares incluyen campos (de dimensión cero) y dominios Dedekind . Si A es regular entonces también lo es A [ X ], con dimensión uno mayor que el de A .
En particular, si k es un campo, el anillo de números enteros o un dominio ideal principal , entonces el anillo polinomial es regular. En el caso de un campo, este es el teorema de la sicigia de Hilbert .
Cualquier localización de un anillo regular también es regular.
Un anillo regular se reduce [6] pero no es necesario que sea un dominio integral. Por ejemplo, el producto de dos dominios integrales regulares es regular, pero no un dominio integral. [7]
Ver también
- Anillo geométricamente regular
Notas
- ^ Un anillo regular de von Neumann local es un anillo de división, por lo que las dos condiciones no son muy compatibles.
- ↑ Herrmann, M., S. Ikeda y U. Orbanz: Equimultiplicity and Blowing Up. Un estudio algebraico con un apéndice por B. Moonen. Springer Verlag, Berlín Heidelberg Nueva York, 1988. Teorema 6.8.
- ^ Krull, Wolfgang (1937), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III", Matemáticas. Z .: 745–766, doi : 10.1007 / BF01160110
- ^ Zariski, Oscar (1940), "Variedades algebraicas sobre campos de tierra de característica 0", Amer. J. Math. , 62 : 187–221, doi : 10.2307 / 2371447
- ^ Zariski, Oscar (1947), "El concepto de un punto simple de una variedad algebraica abstracta", Trad. Amer. Matemáticas. Soc. , 62 : 1–52, doi : 10.1090 / s0002-9947-1947-0021694-1
- ^ ya que un anillo se reduce si y solo si sus localizaciones en los ideales primarios son.
- ^ ¿Es un anillo regular un dominio?
Referencias
- Kunz, Caracterizaciones de anillos locales regulares de característica p. Amer. J. Math. 91 (1969), 772–784.
- Jean-Pierre Serre , álgebra local , Springer-Verlag , 2000, ISBN 3-540-66641-9 . Capítulo IV.D.
- Tsit-Yuen Lam , Conferencias sobre módulos y anillos , Springer-Verlag , 1999, ISBN 978-1-4612-0525-8 . Capítulo 5.G.
- Anillos regulares en The Stacks Project