Onda de Gabor

Las ondas de Gabor son ondas inventadas por Dennis Gabor utilizando funciones complejas construidas para servir como base para las transformadas de Fourier en aplicaciones de la teoría de la información . Son muy similares a las ondas de Morlet . También están estrechamente relacionados con los filtros de Gabor . La propiedad importante de la ondícula es que minimiza el producto de sus desviaciones estándar en el dominio del tiempo y la frecuencia. Dicho de otra forma, la incertidumbreen la información transportada por esta ondícula se minimiza. Sin embargo, tienen la desventaja de no ser ortogonales, por lo que la descomposición eficiente en la base es difícil. Desde sus inicios, han aparecido varias aplicaciones, desde el procesamiento de imágenes hasta el análisis de neuronas en el sistema visual humano. ^{[1] [2]}

La motivación de las ondas de Gabor proviene de encontrar alguna función que minimice su desviación estándar en los dominios de tiempo y frecuencia. Más formalmente, la variación en el dominio de la posición es:${\ Displaystyle f (x)}$

donde es el conjugado complejo de y es la media aritmética, definida como:${\ Displaystyle f ^ {*} (x)}$${\ Displaystyle f (x)}$${\displaystyle \mu }$

¿Dónde está la media aritmética de la transformada de Fourier de ,:${\displaystyle k_{0}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle F(x)}$

Se ha demostrado que esta cantidad tiene un límite inferior de . El punto de vista de la mecánica cuántica debe interpretarse como la incertidumbre en la posición y como la incertidumbre en el momento. Una función que tiene el límite de incertidumbre teóricamente más bajo posible es Gabor Wavelet. ^[3]${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle (\Delta x)}$${\displaystyle \hbar (\Delta k)}$${\displaystyle f(x)}$

La ecuación de una ondícula de Gabor 1-D es una modulada gaussiana por un exponencial complejo, que se describe a continuación: ^[3]

Una ondícula de Gabor con a  = 2, x ₀  = 0 y k ₀  = 1