Wavelet

A wavelet es una onda -como oscilación con una amplitud que comienza en cero, aumenta y luego disminuye de nuevo a cero. Por lo general, se puede visualizar como una "breve oscilación" como una registrada por un sismógrafo o un monitor cardíaco . Generalmente, las ondículas se diseñan intencionalmente para tener propiedades específicas que las hagan útiles para el procesamiento de señales .

Onda sísmica

Por ejemplo, se podría crear una ondícula para tener una frecuencia de C medio y una duración corta de aproximadamente una décima de segundo. Si esta wavelet fuera convolucionada con una señal creada a partir de la grabación de una melodía, entonces la señal resultante sería útil para determinar cuándo se estaba reproduciendo la nota de Do central en la canción. Matemáticamente, la ondícula se correlacionará con la señal si la señal desconocida contiene información de frecuencia similar. Este concepto de correlación es el núcleo de muchas aplicaciones prácticas de la teoría de ondículas.

Como herramienta matemática, las ondículas se pueden utilizar para extraer información de muchos tipos diferentes de datos, incluidas, entre otras, señales de audio e imágenes. Generalmente, se necesitan conjuntos de ondículas para analizar los datos por completo. Un conjunto de ondas "complementarias" descompondrá los datos sin espacios ni superposición, de modo que el proceso de descomposición sea matemáticamente reversible. Por lo tanto, los conjuntos de ondículas complementarias son útiles en algoritmos de compresión / descompresión basados en ondículas donde es deseable recuperar la información original con una pérdida mínima.

En términos formales, esta representación es una serie wavelet representación de una función cuadrada integrable con respecto a cualquiera de una completa , ortonormal conjunto de funciones de base , o un sobrecompletos conjunto o marco de un espacio vectorial , para el espacio de Hilbert de funciones integrables cuadrados. Esto se logra mediante estados coherentes .

Nombre

La palabra wavelet se ha utilizado durante décadas en el procesamiento de señales digitales y la geofísica de exploración. ^[1] La palabra francesa equivalente ondelette que significa "onda pequeña" fue utilizada por Morlet y Grossmann a principios de la década de 1980.

Teoría wavelet

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La teoría de wavelets es aplicable a varios temas. Todas las transformadas de tren de ondas se pueden considerar las formas de representación tiempo-frecuencia para de tiempo continuo señales (analógicas) y así se relacionan con el análisis armónico . La transformada de ondículas discretas (continua en el tiempo) de una señal de tiempo discreto (muestreada) mediante el uso de bancos de filtros de tiempo discreto de configuración diádica (banda de octava) es una aproximación de ondículas a esa señal. Los coeficientes de dicho banco de filtros se denominan coeficientes de desplazamiento y escala en la nomenclatura de wavelets. Estos bancos de filtros pueden contener filtros de respuesta de impulso finito (FIR) o de respuesta de impulso infinito (IIR). Las onditas que forman unLa transformada de ondículas continuas (CWT) están sujetas al principio de incertidumbre del análisis de Fourier de la teoría de muestreo respectiva: dada una señal con algún evento, no se puede asignar simultáneamente una escala exacta de respuesta de tiempo y frecuencia a ese evento. El producto de las incertidumbres de la escala de respuesta de tiempo y frecuencia tiene un límite inferior. Por lo tanto, en el escalograma de una transformada de ondícula continua de esta señal, tal evento marca una región completa en el plano de la escala de tiempo, en lugar de solo un punto. Además, las bases de ondículas discretas pueden considerarse en el contexto de otras formas del principio de incertidumbre. ^{[2] [3] [4] [5]}

Las transformadas wavelet se dividen ampliamente en tres clases: continuas, discretas y basadas en múltiples resoluciones.

Transformaciones de ondículas continuas (cambios continuos y parámetros de escala)

En las transformadas de ondículas continuas , una señal dada de energía finita se proyecta en una familia continua de bandas de frecuencia (o subespacios similares del espacio funcional L p L ² ( R )). Por ejemplo, la señal puede representarse en cada banda de frecuencia de la forma [ f , 2 f ] para todas las frecuencias positivas f > 0. Entonces, la señal original puede reconstruirse mediante una integración adecuada sobre todos los componentes de frecuencia resultantes.

Las bandas de frecuencia o subespacios (subbandas) son versiones escaladas de un subespacio a escala 1. Este subespacio, a su vez, es en la mayoría de las situaciones generado por los cambios de una función generadora ψ en L ² ( R ), la ondícula madre . Para el ejemplo de la escala una banda de frecuencia [1, 2] esta función es

${\displaystyle \psi (t)=2\,\operatorname {sinc} (2t)-\,\operatorname {sinc} (t)={\frac {\sin(2\pi t)-\sin(\pi t)}{\pi t}}}$

con la función sinc (normalizada) . Ese, el de Meyer y otros dos ejemplos de ondas madre son:

Meyer

Morlet

Sombrero mexicano

El subespacio de escala a o banda de frecuencia [1 / a , 2 / a ] es generado por las funciones (a veces llamadas ondas secundarias )

${\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({\frac {t-b}{a}}\right),}$

donde a es positivo y define la escala y b es cualquier número real y define el cambio. El par ( un , b ) define un punto en el semiplano derecho R ₊ × R .

La proyección de una función x sobre el subespacio de escala a tiene entonces la forma

${\displaystyle x_{a}(t)=\int _{\mathbb {R} }WT_{\psi }\{x\}(a,b)\cdot \psi _{a,b}(t)\,db}$

con coeficientes wavelet

${\displaystyle WT_{\psi }\{x\}(a,b)=\langle x,\psi _{a,b}\rangle =\int _{\mathbb {R} }x(t){\psi _{a,b}(t)}\,dt.}$

Para el análisis de la señal x , se pueden ensamblar los coeficientes de ondícula en un escalograma de la señal.

Vea una lista de algunas ondículas continuas .

Transformaciones de ondículas discretas (cambios discretos y parámetros de escala, continuos en el tiempo)

Es computacionalmente imposible analizar una señal usando todos los coeficientes de wavelet, por lo que uno puede preguntarse si es suficiente seleccionar un subconjunto discreto del semiplano superior para poder reconstruir una señal a partir de los coeficientes de wavelet correspondientes. Uno de tales sistemas es el afín sistema para algunos parámetros reales una > 1, b > 0. La correspondiente subconjunto discreta de la halfplane consiste en todos los puntos ( un ^m , na ^m b ) con m , n en Z . Las ondículas secundarias correspondientes ahora se dan como

${\displaystyle \psi _{m,n}(t)={\frac {1}{\sqrt {a^{m}}}}\psi \left({\frac {t-nb}{a^{m}}}\right).}$

Una condición suficiente para la reconstrucción de cualquier señal x de energía finita mediante la fórmula

${\displaystyle x(t)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }\sum _{n\in \mathbb {Z} }\langle x,\,\psi _{m,n}\rangle \cdot \psi _{m,n}(t)}$

es que las funciones forman una base ortonormal de L ² ( R ).${\displaystyle \{\psi _{m,n}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$

Transformaciones de ondículas discretas basadas en múltiples resoluciones (continuas en el tiempo)

Onda D4

En cualquier transformada de ondículas discretizadas, solo hay un número finito de coeficientes de ondículas para cada región rectangular acotada en el semiplano superior. Aún así, cada coeficiente requiere la evaluación de una integral. En situaciones especiales, esta complejidad numérica puede evitarse si las ondas escaladas y desplazadas forman un análisis de múltiples resoluciones . Esto significa que tiene que existir una función auxiliar, la ondícula padre φ en L ² ( R ), y que a es un número entero. Una elección típica es a = 2 yb = 1. El par de ondas padre y madre más famoso son los DaubechiesWavelet de 4 toques. Tenga en cuenta que no todas las bases de ondículas discretas ortonormales pueden asociarse a un análisis multiresolución; por ejemplo, la ondícula de Journe no admite análisis multirresolución. ^[6]

A partir de las ondas madre y padre se construyen los subespacios

${\displaystyle V_{m}=\operatorname {span} (\phi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} ),{\text{ where }}\phi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\phi (2^{-m}t-n)}$

${\displaystyle W_{m}=\operatorname {span} (\psi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} ),{\text{ where }}\psi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\psi (2^{-m}t-n).}$

La ondícula padre mantiene las propiedades del dominio del tiempo, mientras que la ondícula madre mantiene las propiedades del dominio de la frecuencia.${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle W_{i}}$

De estos se requiere que la secuencia

${\displaystyle \{0\}\subset \dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset V_{-2}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$

forma un análisis multirresolución de L ² y que los subespacios son las "diferencias" ortogonales de la secuencia anterior, es decir, W _m es el complemento ortogonal de V _m dentro del subespacio V _{m −1} ,${\displaystyle \dots ,W_{1},W_{0},W_{-1},\dots \dots }$

${\displaystyle V_{m}\oplus W_{m}=V_{m-1}.}$

De manera análoga al teorema de muestreo, se puede concluir que el espacio V _m con una distancia de muestreo de 2 ^m cubre más o menos la banda base de frecuencia de 0 a 2 ^{- m -1} . Como complemento ortogonal, W _m cubre aproximadamente la banda [2 ^{- m −1} , 2 ^{- m} ].

De esas inclusiones y relaciones de ortogonalidad, especialmente , se sigue la existencia de secuencias y que satisfacen las identidades${\displaystyle V_{0}\oplus W_{0}=V_{-1}}$${\displaystyle h=\{h_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$${\displaystyle g=\{g_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$

${\displaystyle g_{n}=\langle \phi _{0,0},\,\phi _{-1,n}\rangle }$para que y${\displaystyle \phi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }g_{n}\phi (2t-n),}$

${\displaystyle h_{n}=\langle \psi _{0,0},\,\phi _{-1,n}\rangle }$ así que eso ${\displaystyle \psi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }h_{n}\phi (2t-n).}$

La segunda identidad del primer par es una ecuación de refinamiento para la ondícula padre φ. Ambos pares de identidades forman la base del algoritmo de la transformada de ondícula rápida .

Del análisis multirresolución se deriva la descomposición ortogonal del espacio L ² como

${\displaystyle L^{2}=V_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}-1}\oplus W_{j_{0}-2}\oplus W_{j_{0}-3}\oplus \dots }$

Para cualquier señal o función, esto da una representación en funciones base de los subespacios correspondientes como${\displaystyle S\in L^{2}}$

${\displaystyle S=\sum _{k}c_{j_{0},k}\phi _{j_{0},k}+\sum _{j\leq j_{0}}\sum _{k}d_{j,k}\psi _{j,k}}$

donde los coeficientes son

${\displaystyle c_{j_{0},k}=\langle S,\phi _{j_{0},k}\rangle }$ y

${\displaystyle d_{j,k}=\langle S,\psi _{j,k}\rangle }$.

Onda madre

Por aplicaciones prácticas, y por razones de eficiencia, se prefieren funciones continuamente diferenciables con soporte compacto como wavelet (funciones) madre (prototipo). Sin embargo, para satisfacer los requisitos analíticos (en el WT continuo) y en general por razones teóricas, se escogen las funciones wavelet de un subespacio del espacio Este es el espacio de funciones medibles que son (en valor absoluto) integrables al cuadrado :${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} ).}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|\,dt<\infty }$ y ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt<\infty .}$

Estar en este espacio asegura que uno pueda formular las condiciones de media cero y norma cuadrada uno:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0}$ es la condición para la media cero, y

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt=1}$ es la condición para la norma cuadrada uno.

Para que ψ sea una ondícula para la transformada de ondícula continua (ver allí la declaración exacta), la ondícula madre debe satisfacer un criterio de admisibilidad (en términos generales, una especie de diferenciación media) para obtener una transformada establemente invertible.

Para la transformada de ondículas discretas , se necesita al menos la condición de que la serie de ondículas sea ​​una representación de la identidad en el espacio L ² ( R ). La mayoría de las construcciones de WT discretas hacen uso del análisis multiresolución , que define la ondícula mediante una función de escala. Esta función de escala en sí misma es una solución a una ecuación funcional.

En la mayoría de las situaciones, es útil restringir ψ para que sea una función continua con un mayor número M de momentos de fuga, es decir, para todos los enteros m < M

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{m}\,\psi (t)\,dt=0.}$

La madre wavelet se escala (o dilatado) por un factor de una y traducido (o desplazada) por un factor de b para dar (bajo la formulación original de Morlet):

${\displaystyle \psi _{a,b}(t)={1 \over {\sqrt {a}}}\psi \left({t-b \over a}\right).}$

Para el WT continuo, el par ( a , b ) varía sobre el semiplano completo R ₊ × R ; para el WT discreto, este par varía en un subconjunto discreto del mismo, que también se denomina grupo afín .

A menudo, estas funciones se denominan incorrectamente funciones de base de la transformación (continua). De hecho, como en la transformada de Fourier continua, no hay base en la transformada de ondícula continua. La interpretación de frecuencia de tiempo utiliza una formulación sutilmente diferente (después de Delprat).

Restricción:

(1) cuando a1 = a y b1 = b,${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{a1,b1}(t)\varphi \left({\frac {t-b}{a}}\right)\,dt}$

(2) tiene un intervalo de tiempo finito${\displaystyle \Psi (t)}$

Comparaciones con la transformada de Fourier (tiempo continuo)

La transformada wavelet a menudo se compara con la transformada de Fourier , en la que las señales se representan como una suma de sinusoides. De hecho, la transformada de Fourier puede verse como un caso especial de la transformada de ondícula continua con la elección de la ondícula madre . La principal diferencia en general es que las ondículas se localizan tanto en tiempo como en frecuencia, mientras que la transformada de Fourier estándar solo se localiza en frecuencia . La transformada de Fourier de corta duración (STFT) es similar a la transformada wavelet, en el sentido de que también está localizada en el tiempo y la frecuencia, pero existen problemas con el equilibrio entre resolución de frecuencia y tiempo.${\displaystyle \psi (t)=e^{-2\pi it}}$

En particular, asumiendo una región de ventana rectangular, uno puede pensar en STFT como una transformación con un kernel ligeramente diferente

${\displaystyle \psi (t)=g(t-u)e^{-2\pi it}}$

where a menudo se puede escribir como , where y u denotan respectivamente la longitud y el desplazamiento temporal de la función de ventana. Usando el teorema de Parseval , se puede definir la energía de la ondícula como${\displaystyle g(t-u)}$${\displaystyle {\rm {{rect}\left({\frac {t-u}{\Delta _{t}}}\right)}}}$${\displaystyle \Delta _{t}}$

${\displaystyle E=\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}\,d\omega }$

A partir de esto, el cuadrado del soporte temporal de la ventana desplazada por el tiempo u está dado por

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}={\frac {1}{E}}\int |t-u|^{2}|\psi (t)|^{2}\,dt}$

y el cuadrado del soporte espectral de la ventana que actúa sobre una frecuencia ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \sigma _{\omega }^{2}={\frac {1}{2\pi E}}\int |\omega -\xi |^{2}|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}\,d\omega }$

La multiplicación con una ventana rectangular en el dominio del tiempo corresponde a la convolución con una función en el dominio de la frecuencia, lo que resulta en artefactos de timbre espurios para ventanas temporales cortas / localizadas. Con la transformada de Fourier de tiempo continuo, y esta convolución es con una función delta en el espacio de Fourier, lo que resulta en la verdadera transformada de Fourier de la señal . La función de ventana puede ser algún otro filtro apodizador , como un gaussiano . La elección de la función de ventana afectará el error de aproximación relativo a la verdadera transformada de Fourier.${\displaystyle {\rm {sinc(\Delta _{t}\omega )}}}$${\displaystyle \Delta _{t}\rightarrow \infty }$${\displaystyle x(t)}$

No se puede exceder el producto de ancho de banda de tiempo de una celda de resolución dada con el STFT. Todos los elementos básicos de STFT mantienen un soporte espectral y temporal uniforme para todos los desplazamientos o desplazamientos temporales, logrando así una resolución igual en el tiempo para frecuencias más bajas y más altas. La resolución está puramente determinada por el ancho de muestreo.

Por el contrario, las propiedades multirresolución de la transformada wavelet permiten grandes soportes temporales para frecuencias más bajas mientras se mantienen anchos temporales cortos para frecuencias más altas mediante las propiedades de escala de la transformada wavelet. Esta propiedad extiende el análisis de frecuencia de tiempo convencional al análisis de escala de tiempo. ^[7]

Átomos de frecuencia de tiempo STFT (izquierda) y átomos de escala de tiempo DWT (derecha). Los átomos de tiempo-frecuencia son cuatro funciones básicas diferentes que se utilizan para la STFT (es decir, se requieren cuatro transformadas de Fourier independientes ). Los átomos de la escala de tiempo del DWT logran anchos temporales pequeños para frecuencias altas y anchos temporales buenos para frecuencias bajas con un único conjunto de bases de transformación.

La transformada de ondícula discreta es menos compleja computacionalmente , y toma O ( N ) tiempo en comparación con O ( N  log  N ) para la transformada rápida de Fourier . Esta ventaja computacional no es inherente a la transformada, pero refleja la elección de una división logarítmica de frecuencia, en contraste con las divisiones de frecuencia igualmente espaciadas de la FFT (Transformada rápida de Fourier) que usa las mismas funciones básicas que DFT (Transformada discreta de Fourier) . ^[8] También es importante tener en cuenta que esta complejidad solo se aplica cuando el tamaño del filtro no tiene relación con el tamaño de la señal. Una ondícula sin soporte compacto como la ondícula de Shannonrequeriría O ( N ² ). (Por ejemplo, una Transformada de Fourier logarítmica también existe con complejidad O ( N ), pero la señal original debe muestrearse logarítmicamente en el tiempo, lo que solo es útil para ciertos tipos de señales. ^[9] )

Definición de una ondícula

Hay varias formas de definir una ondícula (o una familia de ondículas).

Filtro de escala

Una ondícula ortogonal está completamente definida por el filtro de escala - un filtro de respuesta de impulso finito de paso bajo (FIR) de longitud 2 N y suma 1. En las ondículas biortogonales , se definen filtros separados de descomposición y reconstrucción.

Para el análisis con ondas ortogonales, el filtro de paso alto se calcula como el filtro de espejo en cuadratura del paso bajo, y los filtros de reconstrucción son el tiempo inverso de los filtros de descomposición.

Las ondículas de Daubechies y Symlet pueden definirse mediante el filtro de escala.

Función de escala

Las ondículas se definen por la función ondícula ψ ( t ) (es decir, la ondícula madre) y la función de escala φ ( t ) (también llamada ondícula padre) en el dominio del tiempo.

La función wavelet es, en efecto, un filtro de paso de banda y un escalado que para cada nivel reduce a la mitad su ancho de banda. Esto crea el problema de que para cubrir todo el espectro se requeriría una cantidad infinita de niveles. La función de escala filtra el nivel más bajo de la transformación y asegura que todo el espectro esté cubierto. Consulte ^[10] para obtener una explicación detallada.

Para una ondícula con soporte compacto, φ ( t ) puede considerarse de longitud finita y es equivalente al filtro de escala g .

Las ondículas de Meyer se pueden definir mediante funciones de escala

Función wavelet

La ondícula solo tiene una representación en el dominio del tiempo como la función ondícula ψ ( t ).

Por ejemplo, las wavelets de sombrero mexicano se pueden definir mediante una función de wavelet. Vea una lista de algunas ondas continuas .

Historia

El desarrollo de wavelets se puede vincular a varios trenes de pensamiento separados, comenzando con el trabajo de Haar a principios del siglo XX. El trabajo posterior de Dennis Gabor produjo los átomos de Gabor (1946), que se construyen de manera similar a las ondículas y se aplican a propósitos similares.

La compresión wavelet , una forma de codificación de transformada que utiliza transformadas wavelet en la compresión de datos , comenzó después del desarrollo de la transformada de coseno discreta (DCT), ^[11] un algoritmo de compresión de datos basado en bloques propuesto por primera vez por Nasir Ahmed a principios de la década de 1970. ^{[12] [13]} La introducción de la DCT condujo al desarrollo de la codificación de ondículas, una variante de la codificación de DCT que utiliza ondículas en lugar del algoritmo basado en bloques de DCT. ^[11]

Contribuciones notables a la teoría de ondículas desde entonces pueden atribuirse al descubrimiento de Zweig de la transformada de ondículas continuas (CWT) en 1975 (originalmente llamada transformada coclear y descubierta al estudiar la reacción del oído al sonido), ^[14] Pierre Goupillaud, La formulación de Grossmann y Morlet de lo que ahora se conoce como CWT (1982), los primeros trabajos de Jan-Olov Strömberg sobre ondículas discretas (1983), la ondícula LeGall-Tabatabai (LGT) 5/3 desarrollada por Didier Le Gall y Ali J . Tabatabai (1988), ^{[15] [16] [17]} Ondas ortogonales con soporte compacto de Ingrid Daubechies (1988), Mallat's marco multiresolución (1989), Ali Akansu ' s binomial QMF (1990), la interpretación de tiempo-frecuencia de Nathalie Delprat de la CWT (1991), de Newland wavelet armónica transformar (1993), y el conjunto de particiones en árboles jerárquicos (SPIHT) desarrollado por Amir Said con William A. Pearlman en 1996. ^[18]

El estándar JPEG 2000 fue desarrollado de 1997 a 2000 por un comité del Joint Photographic Experts Group (JPEG) presidido por Touradj Ebrahimi (más tarde presidente de JPEG). ^[19] En contraste con el algoritmo DCT utilizado por el formato JPEG original , JPEG 2000 utiliza en cambio algoritmos de transformada de ondas discretas (DWT). Utiliza la transformada de ondas CDF 9/7 (desarrollada por Ingrid Daubechies en 1992) para su algoritmo de compresión con pérdida , y la transformada de ondas 5/3 LeGall-Tabatabai (LGT) (desarrollada por Didier Le Gall y Ali J. Tabatabai en 1988) por su algoritmo de compresión sin pérdidas . ^[20] JPEG 2000La tecnología, que incluye la extensión Motion JPEG 2000 , fue seleccionada como estándar de codificación de video para cine digital en 2004. ^[21]

Línea de tiempo

• Primera wavelet ( Haar Wavelet ) de Alfréd Haar (1909)
• Desde la década de 1970: George Zweig , Jean Morlet , Alex Grossmann
• Desde la década de 1980: Yves Meyer , Didier Le Gall, Ali J. Tabatabai, Stéphane Mallat , Ingrid Daubechies , Ronald Coifman , Ali Akansu , Victor Wickerhauser
• Desde la década de 1990: Nathalie Delprat, Newland, Amir Said, William A. Pearlman, Touradj Ebrahimi, JPEG 2000

Transformaciones wavelet

Artículo principal: Transformada Wavelet

Una ondícula es una función matemática que se utiliza para dividir una función determinada o una señal de tiempo continuo en diferentes componentes de escala. Por lo general, se puede asignar un rango de frecuencia a cada componente de la escala. Luego, cada componente de la escala se puede estudiar con una resolución que coincida con su escala. Una transformada de ondículas es la representación de una función mediante ondículas. Las ondículas son copias escaladas y traducidas (conocidas como "ondículas hijas") de una forma de onda oscilante de longitud finita o de rápida decadencia (conocida como "ondícula madre"). Las transformadas wavelet tienen ventajas sobre las transformadas tradicionales de Fourier para representar funciones que tienen discontinuidades y picos agudos, y para deconstruir y reconstruir con precisión las funciones finitas, no periódicas.y / o señales no estacionarias .

Las transformadas de ondículas se clasifican en transformadas de ondículas discretas (DWT) y transformadas de ondículas continuas (CWT). Tenga en cuenta que tanto DWT como CWT son transformaciones de tiempo continuo (analógicas). Se pueden utilizar para representar señales de tiempo continuo (analógicas). Los CWT operan en todas las escalas y traducciones posibles, mientras que los DWT usan un subconjunto específico de valores de escala y traducción o cuadrícula de representación.

Hay una gran cantidad de transformadas de ondículas, cada una de las cuales es adecuada para diferentes aplicaciones. Para obtener una lista completa, consulte la lista de transformaciones relacionadas con wavelets, pero las más comunes se enumeran a continuación:

• Transformada de ondícula continua (CWT)
• Transformada de ondícula discreta (DWT)
• Transformada de ondícula rápida (FWT)
• Esquema de elevación y esquema de elevación generalizado
• Descomposición de paquetes de ondas (WPD)
• Transformada de ondículas estacionarias (SWT)
• Transformada fraccional de Fourier (FRFT)
• Transformada de ondícula fraccional (FRWT)

Transformaciones generalizadas

Hay una serie de transformadas generalizadas de las cuales la transformada de ondícula es un caso especial. Por ejemplo, Yosef Joseph Segman introdujo la escala en el grupo de Heisenberg , dando lugar a un espacio de transformación continuo que es una función del tiempo, la escala y la frecuencia. El CWT es un corte bidimensional a través del volumen de frecuencia de escala de tiempo 3d resultante.

Otro ejemplo de una transformada generalizada es la transformada chirplet en la que el CWT es también un corte bidimensional a través de la transformada chirplet.

Un área de aplicación importante para las transformaciones generalizadas involucra sistemas en los que la resolución de alta frecuencia es crucial. Por ejemplo, las transformadas ópticas de electrones de campo oscuro intermedias entre el espacio directo y recíproco se han utilizado ampliamente en el análisis armónico de la agrupación de átomos, es decir, en el estudio de cristales y defectos cristalinos . ^[22] Ahora que los microscopios electrónicos de transmisión son capaces de proporcionar imágenes digitales con información a escala picométrica sobre la periodicidad atómica en nanoestructuras de todo tipo, el rango de reconocimiento de patrones ^[23] y la deformación ^[24]/ Las aplicaciones de metrología ^[25] para transformadas intermedias con resolución de alta frecuencia (como brochas ^[26] y crestas ^[27] ) están creciendo rápidamente.

La transformada de ondícula fraccional (FRWT) es una generalización de la transformada de ondícula clásica en los dominios de la transformada de Fourier fraccional. Esta transformada es capaz de proporcionar la información de dominio fraccional y de tiempo simultáneamente y representar señales en el plano de frecuencia fraccional de tiempo. ^[28]

Aplicaciones de la transformada wavelet

Generalmente, se usa una aproximación a DWT para la compresión de datos si una señal ya está muestreada, y el CWT para el análisis de señales . ^[29] Por lo tanto, la aproximación DWT se usa comúnmente en ingeniería y ciencias de la computación, y la CWT en investigación científica.

Al igual que algunas otras transformaciones, las transformaciones de ondículas se pueden utilizar para transformar datos y luego codificar los datos transformados, lo que da como resultado una compresión efectiva. Por ejemplo, JPEG 2000 es un estándar de compresión de imágenes que utiliza ondas biortogonales. Esto significa que aunque la trama está demasiado completa, es una trama ajustada (ver tipos de tramas de un espacio vectorial ), y las mismas funciones de trama (excepto para la conjugación en el caso de ondículas complejas) se utilizan tanto para el análisis como para la síntesis, es decir , tanto en la transformación directa como en la inversa. Para obtener más información, consulte compresión de ondículas .

Un uso relacionado es para suavizar / eliminar el ruido de datos basados ​​en el umbral del coeficiente de ondículas, también llamado contracción de ondículas. Al establecer un umbral adaptativo de los coeficientes de ondícula que corresponden a componentes de frecuencia no deseados, se pueden realizar operaciones de suavizado y / o eliminación de ruido.

Las transformadas wavelet también están comenzando a usarse para aplicaciones de comunicación. Wavelet OFDM es el esquema de modulación básico utilizado en HD-PLC (una tecnología de comunicaciones por línea de energía desarrollada por Panasonic ) y en uno de los modos opcionales incluidos en el estándar IEEE 1901 . Wavelet OFDM puede lograr muescas más profundas que la FFT OFDM tradicional , y la wavelet OFDM no requiere un intervalo de guarda (que generalmente representa una sobrecarga significativa en los sistemas FFT OFDM). ^[30]

Como representación de una señal

A menudo, las señales se pueden representar bien como una suma de sinusoides. Sin embargo, considere una señal no continua con una discontinuidad abrupta; esta señal todavía se puede representar como una suma de sinusoides, pero requiere un número infinito, que es una observación conocida como fenómeno de Gibbs. Esto, entonces, requiere un número infinito de coeficientes de Fourier, lo que no es práctico para muchas aplicaciones, como la compresión. Las ondículas son más útiles para describir estas señales con discontinuidades debido a su comportamiento localizado en el tiempo (las transformadas de Fourier y las ondículas están localizadas en frecuencia, pero las ondículas tienen una propiedad adicional de localización en el tiempo). Debido a esto, muchos tipos de señales en la práctica pueden ser no escasas en el dominio de Fourier, pero muy escasas en el dominio de ondículas. Esto es particularmente útil en la reconstrucción de señales, especialmente en el campo recientemente popular de detección comprimida . (Tenga en cuenta que la transformada de Fourier de tiempo corto(STFT) también se localiza en el tiempo y la frecuencia, pero a menudo hay problemas con la compensación de resolución entre frecuencia y tiempo. Las ondas son mejores representaciones de señales debido al análisis de múltiples resoluciones ).

Esto motiva por qué las transformadas de ondículas se están adoptando ahora para una gran cantidad de aplicaciones, a menudo reemplazando la transformada de Fourier convencional . Muchas áreas de la física han visto este cambio de paradigma, incluida la dinámica molecular , la teoría del caos , ^[31] cálculos ab initio , astrofísica , análisis de datos transitorios de ondas gravitacionales , ^{[32] [33]} localización de matrices de densidad , sismología , óptica , turbulencia y cuántica Mecánica . Este cambio también se ha producido en el procesamiento de imágenes , EEG, EMG , ^[34] análisis de ECG , ritmos cerebrales , análisis de ADN , análisis de proteínas , climatología , análisis de la respuesta sexual humana, ^[35] procesamiento general de señales , reconocimiento de voz , acústica, señales de vibración, ^[36] gráficos por computadora , análisis multifractal y codificación escasa . En visión artificial y procesamiento de imágenes , la noción de espacio de escala La representación y los operadores derivados de Gauss se consideran una representación canónica de múltiples escalas.

Eliminación de ruido de wavelet

Eliminación de ruido de la señal mediante el umbral de la transformada de ondículas

Supongamos que medimos una señal ruidosa . Suponga que s tiene una representación escasa en ciertas bases de ondículas, y${\displaystyle x=s+v}$${\displaystyle v\ \sim \ {\mathcal {N}}(0,\,\sigma ^{2}I)}$

Entonces .${\displaystyle y=W^{T}x=W^{T}s+W^{T}v=p+z}$

La mayoría de los elementos de p son 0 o cercanos a 0, y ${\displaystyle z\ \sim \ \ {\mathcal {N}}(0,\,\sigma ^{2}I)}$

Dado que W es ortogonal, el problema de estimación equivale a la recuperación de una señal en ruido gaussiano iid . Como p es escaso, un método consiste en aplicar un modelo de mezcla gaussiana para p.

Asumir una previa , es la varianza de los coeficientes "significativas", y es la varianza de los coeficientes "insignificantes".${\displaystyle p\ \sim \ a{\mathcal {N}}(0,\,\sigma _{1}^{2})+(1-a){\mathcal {N}}(0,\,\sigma _{2}^{2})}$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

Entonces , se llama factor de contracción, que depende de las variaciones previas y . El efecto del factor de contracción es que los coeficientes pequeños se establecen antes en 0 y los coeficientes grandes no se modifican.${\displaystyle {\tilde {p}}=E(p/y)=\tau (y)y}$${\displaystyle \tau (y)}$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

Los coeficientes pequeños son en su mayoría ruidos y los coeficientes grandes contienen una señal real.

Por último, aplique la transformada de ondícula inversa para obtener ${\displaystyle {\tilde {s}}=W{\tilde {p}}}$

Lista de wavelets

Ondas discretas

• Beylkin (18)
• Ondas biortogonales casi coiflet (BNC)
• Coiflet (6, 12, 18, 24, 30)
• Onda de Cohen-Daubechies-Feauveau (a veces denominada CDF N / P o ondas biortogonales de Daubechies)
• Onda de Daubechies (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, etc.)
• Binomial-QMF (también conocido como wavelet de Daubechies)
• Haar wavelet
• Wavelet de Mathieu
• Onda de Legendre
• Ola de Villaseñor
• Symlet ^[37]

Ondas continuas

Valor real

• Onda beta
• Odita hermitiana
• Onda de Meyer
• Ola de sombrero mexicano
• Onda de Poisson
• Onda de Shannon
• Wavelet spline
• Onda de Strömberg

De valor complejo

• Onda compleja de sombrero mexicano
• fbsp wavelet
• Onda de Morlet
• Onda de Shannon
• Onda de Morlet modificada

Ver también

• Transformación de chirplet
• Curvelet
• Cine digital
• Bancos de filtros
• Compresión fractal
• Transformada fraccional de Fourier
• JPEG 2000
• Análisis multirresolución
• Ruido
• Wavelet no separable
• Espacio de escala
• Correlación escalada
• Shearlet
• Transformada de Fourier de corta duración
• Radio de banda ultra ancha: transmite ondas
• Paquete de onda
• Wavelet de Gabor # espacio Wavelet ^[38]
• Reducción de dimensión
• Transformadas relacionadas con Fourier
• Espectrograma
• Principio de Huygens-Fresnel (ondas físicas)

Referencias

Citas

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Fuentes

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• Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 13.10. Transformaciones Wavelet" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Enlaces externos

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Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Wavelet .

• Resumen de Wavelet
• Wavelets: Software : una lista de marcos útiles de transformación de wavelets, bibliotecas y otro software
• "Análisis de ondas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• 1er Simposio de NJIT sobre Wavelets (30 de abril de 1990) (Primera Conferencia de Wavelets en EE. UU.)
• Ondas de Daubechies Binomial-QMF
• Wavelets por Gilbert Strang, American Scientist 82 (1994) 250-255. (Una introducción muy breve y excelente)
• Curso sobre Wavelets impartido en UC Santa Barbara, 2004
• Wavelets para niños (archivo PDF) (Introducción (¡para niños muy inteligentes!))
• WITS: ¿Dónde está la estrella? Un diccionario de decenas de wavelets y términos relacionados con wavelets que terminan en -let, desde activelets hasta x-lets pasando por bandlets, contourlets, curvelets, noiselets, wedgelets.
• La transformada de wavelet fraccional spline describe una transformada wavelet fraccional basada en b-splines fraccionales.
• Un panorama sobre representaciones geométricas multiescala, entrelazando selectividad espacial, direccional y de frecuencia proporciona un tutorial sobre ondículas orientadas bidimensionales y transformaciones multiescala geométricas relacionadas.
• Reducción de ruido de la señal mediante wavelets
• Introducción concisa a Wavelets por René Puschinger