Cuadratura de Gauss-Hermite

En análisis numérico , la cuadratura de Gauss-Hermite es una forma de cuadratura gaussiana para aproximar el valor de integrales del siguiente tipo:

donde n es el número de puntos de muestra utilizados. Las x _i son las raíces de la versión de los físicos del polinomio de Hermite H _n ( x ) ( i = 1,2,..., n ), y los pesos asociados w _i están dados por ^[1]

Considere una función h(y) , donde la variable y se distribuye normalmente : . La expectativa de h corresponde a la siguiente integral:${\displaystyle y\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

${\displaystyle E[h(y)]=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(y-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)h(y)dy}$

${\displaystyle x={\frac {y-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\Leftrightarrow y={\sqrt {2}}\sigma x+\mu }$

${\displaystyle E[h(y)]=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\exp(-x^{2})h({\sqrt {2}}\sigma x+\mu )dx}$

Pesos contra x _i para cuatro opciones de n