En el análisis numérico , una regla de cuadratura es una aproximación de la integral definida de una función , generalmente expresada como una suma ponderada de valores de función en puntos específicos dentro del dominio de integración. (Ver integración numérica para más información sobre las reglas de cuadratura ). Una regla de cuadratura gaussiana de n puntos , llamada así por Carl Friedrich Gauss , [1] es una regla de cuadratura construida para producir un resultado exacto para polinomios de grado 2 n - 1 o menos por un elección adecuada de los nodosx i y ponderaciones w i para i = 1, ..., n . La formulación moderna que utiliza polinomios ortogonales fue desarrollada por Carl Gustav Jacobi en 1826. [2] El dominio de integración más común para tal regla se toma como [−1, 1] , por lo que la regla se establece como
que es exacta para polinomios de grado 2 n - 1 o menos. Esta regla exacta se conoce como regla de cuadratura de Gauss-Legendre. La regla de la cuadratura solo será una aproximación precisa a la integral anterior si f ( x ) está bien aproximada por un polinomio de grado 2 n - 1 o menos en [−1, 1] .
La regla de cuadratura de Gauss- Legendre no se usa típicamente para funciones integrables con singularidades de punto final . En cambio, si el integrando se puede escribir como
donde g ( x ) está bien aproximado por un polinomio de bajo grado, entonces los nodos alternativos y pesos normalmente dará reglas de cuadratura más precisas. Estas se conocen como reglas de cuadratura de Gauss-Jacobi , es decir,
Los pesos comunes incluyen ( Chebyshev – Gauss ) y. También se puede querer integrar sobre intervalos semi-infinitos ( cuadratura de Gauss-Laguerre ) e infinitos ( cuadratura de Gauss-Hermite ).
Se puede demostrar (ver Press, et al., O Stoer y Bulirsch) que los nodos en cuadratura x i son las raíces de un polinomio que pertenece a una clase de polinomios ortogonales (la clase ortogonal con respecto a un producto interno ponderado). Ésta es una observación clave para calcular los nodos y pesos en cuadratura de Gauss.
Cuadratura de Gauss-Legendre
Para el problema de integración más simple mencionado anteriormente, es decir, f ( x ) está bien aproximada por polinomios en, los polinomios ortogonales asociados son polinomios de Legendre , denotados por P n ( x ) . Con el n -ésimo polinomio normalizado para dar P n (1) = 1 , el i -ésimo nodo de Gauss, x i , es la i -ésima raíz de P n y los pesos están dados por la fórmula ( Abramowitz y Stegun 1972 , pág.887)
Algunas reglas de cuadratura de orden inferior se tabulan a continuación (en el intervalo [−1, 1] , consulte la sección siguiente para conocer otros intervalos).
Número de puntos, n | Puntos, x i | Pesos, w i | ||
---|---|---|---|---|
1 | 0 | 2 | ||
2 | ± 0,57735 ... | 1 | ||
3 | 0 | 0,888889 ... | ||
± 0,774597 ... | 0,555556 ... | |||
4 | ± 0,339981 ... | 0,652145 ... | ||
± 0,861136 ... | 0,347855 ... | |||
5 | 0 | 0,568889 ... | ||
± 0,538469 ... | 0,478629 ... | |||
± 0,90618 ... | 0,236927 ... |
Cambio de intervalo
Una integral sobre [ a , b ] debe cambiarse a una integral sobre [−1, 1] antes de aplicar la regla de cuadratura gaussiana. Este cambio de intervalo se puede realizar de la siguiente manera:
con
Aplicando punto cuadratura gaussiana La regla da como resultado la siguiente aproximación:
Otras formas
El problema de integración se puede expresar de una manera un poco más general introduciendo una función de ponderación positiva ω en el integrando y permitiendo un intervalo distinto de [−1, 1] . Es decir, el problema es calcular
para algunas opciones de una , b , y ω . Para a = −1 , b = 1 y ω ( x ) = 1 , el problema es el mismo que se consideró anteriormente. Otras opciones conducen a otras reglas de integración. Algunos de estos se tabulan a continuación. Los números de ecuación se dan para Abramowitz y Stegun (A & S).
Intervalo | ω ( x ) | Polinomios ortogonales | COMO | Para más información, ver ... |
---|---|---|---|---|
[−1, 1] | 1 | Polinomios de Legendre | 25.4.29 | § Cuadratura de Gauss-Legendre |
(−1, 1) | Polinomios de Jacobi | 25.4.33 ( β = 0 ) | Cuadratura de Gauss-Jacobi | |
(−1, 1) | Polinomios de Chebyshev (primer tipo) | 25.4.38 | Cuadratura de Chebyshev-Gauss | |
[−1, 1] | Polinomios de Chebyshev (segundo tipo) | 25.4.40 | Cuadratura de Chebyshev-Gauss | |
[0, ∞) | Polinomios de Laguerre | 25.4.45 | Cuadratura de Gauss-Laguerre | |
[0, ∞) | Polinomios de Laguerre generalizados | Cuadratura de Gauss-Laguerre | ||
(−∞, ∞) | Polinomios de Hermite | 25.4.46 | Cuadratura de Gauss-Hermite |
Teorema fundamental
Sea p n un polinomio no trivial de grado n tal que
Si elegimos los n nodos x i como ceros de p n , entonces existen n pesos w i que hacen que la integral calculada en cuadratura de Gauss sea exacta para todos los polinomios h ( x ) de grado 2 n - 1 o menos. Además, todos estos nodos x i estarán en el intervalo abierto ( a , b ) ( Stoer y Bulirsch 2002 , pp. 172-175).
Se dice que el polinomio p n es un polinomio ortogonal de grado n asociado a la función de ponderación ω ( x ) . Es único hasta un factor de normalización constante. La idea subyacente a la prueba es que, debido a su grado suficientemente bajo, h ( x ) se puede dividir porpara producir un cociente q ( x ) de grado estrictamente menor que n , y un resto r ( x ) de grado aún menor, de modo que ambos serán ortogonales a, por la propiedad definitoria de . Por lo tanto
Debido a la elección de los nodos x i , la relación correspondiente
sostiene también. La exactitud de la integral calculada paraluego se sigue de la exactitud correspondiente para polinomios de grado n o menos (como es).
Fórmula general para los pesos
Los pesos se pueden expresar como
( 1 )
dónde es el coeficiente de en . Para probar esto, tenga en cuenta que utilizando la interpolación de Lagrange se puede expresar r ( x ) en términos de como
porque r ( x ) tiene un grado menor que n y por lo tanto está fijado por los valores que alcanza en n puntos diferentes. Multiplicando ambos lados por ω ( x ) e integrando de a a b da como resultado
Por tanto, los pesos w i vienen dados por
Esta expresión integral para se puede expresar en términos de polinomios ortogonales y como sigue.
Podemos escribir
dónde es el coeficiente de en . Tomando el límite de x a rendimientos utilizando la regla de L'Hôpital
Por tanto, podemos escribir la expresión integral para los pesos como
( 2 )
En el integrando, escribiendo
rendimientos
previsto , porque
es un polinomio de grado k - 1 que luego es ortogonal a. Entonces, si q ( x ) es un polinomio de enésimo grado como máximo, tenemos
Podemos evaluar la integral del lado derecho para como sigue. Porquees un polinomio de grado n - 1 , tenemos
donde s ( x ) es un polinomio de grado. Dado que s ( x ) es ortogonal a tenemos
Entonces podemos escribir
El término entre paréntesis es un polinomio de grado , que por lo tanto es ortogonal a . Por tanto, la integral se puede escribir como
Según la ecuación ( 2 ), los pesos se obtienen dividiendo esto pory eso da la expresión en la ecuación ( 1 ).
también se puede expresar en términos de polinomios ortogonales y ahora . En la relación de recurrencia de 3 términos el término con desaparece, entonces en la ecuación. (1) puede ser reemplazado por.
Prueba de que los pesos son positivos
Considere el siguiente polinomio de grado
donde, como arriba, x j son las raíces del polinomio. Claramente. Dado que el grado de es menos que , la fórmula de cuadratura gaussiana que involucra los pesos y nodos obtenidos de se aplica. Desde para j no igual a i, tenemos
Ya que ambos y son funciones no negativas, se sigue que .
Cálculo de las reglas de cuadratura de Gauss
Existen muchos algoritmos para calcular los nodos x i y los pesos w i de las reglas de cuadratura de Gauss. Los más populares son el algoritmo de Golub-Welsch que requiere operaciones O ( n 2 ) , el método de Newton para resolverutilizando la recurrencia de tres términos para la evaluación que requiere operaciones O ( n 2 ) y fórmulas asintóticas para n grandes que requieren operaciones O ( n ) .
Relación de recurrencia
Polinomios ortogonales con por para un producto escalar , la licenciatura y el coeficiente principal uno (es decir, polinomios ortogonales monicos ) satisfacen la relación de recurrencia
y producto escalar definido
por donde n es el grado máximo que puede tomarse como infinito, y donde. En primer lugar, los polinomios definidos por la relación de recurrencia que comienza contener el coeficiente de avance uno y el grado correcto. Dado el punto de partida por, la ortogonalidad de se puede mostrar por inducción. Para uno tiene
Ahora si son ortogonales, entonces también , porque en
todos los productos escalares desaparecen excepto el primero y el que se encuentra con el mismo polinomio ortogonal. Por lo tanto,
Sin embargo, si el producto escalar satisface (que es el caso de la cuadratura gaussiana), la relación de recurrencia se reduce a una relación de recurrencia de tres términos: Para es un polinomio de grado menor o igual que r - 1 . Por otro lado,es ortogonal a todo polinomio de grado menor o igual que r - 1 . Por lo tanto, uno tiene y para s < r - 1 . La relación de recurrencia luego se simplifica a
o
(con la convención ) dónde
(el último por , desde difiere de en un grado menor que r ).
El algoritmo de Golub-Welsch
La relación de recurrencia de tres términos se puede escribir en forma de matriz dónde , es el el vector de base estándar, es decir, , y J es la llamada matriz de Jacobi:
Los ceros de los polinomios hasta el grado n , que se utilizan como nodos para la cuadratura gaussiana, se pueden encontrar calculando los valores propios de esta matriz tridiagonal . Este procedimiento se conoce como algoritmo de Golub-Welsch .
Para calcular los pesos y los nodos, es preferible considerar la matriz tridiagonal simétrica con elementos
J yson matrices similares y, por lo tanto, tienen los mismos valores propios (los nodos). Los pesos se pueden calcular a partir de los vectores propios correspondientes: Sies un autovector normalizado (es decir, un autovector con norma euclidiana igual a uno) asociado al autovalor x j , el peso correspondiente se puede calcular a partir del primer componente de este autovector, a saber:
dónde es la integral de la función de peso
Ver, por ejemplo, ( Gil, Segura & Temme 2007 ) para más detalles.
Estimaciones de error
El error de una regla de cuadratura gaussiana se puede establecer de la siguiente manera ( Stoer & Bulirsch 2002 , Thm 3.6.24). Para un integrando que tiene 2 n derivadas continuas,
para algunos ξ en ( a , b ) , donde p n es el polinomio ortogonal mónico (es decir, el coeficiente principal es 1 ) de grado n y donde
En el caso especial importante de ω ( x ) = 1 , tenemos la estimación del error ( Kahaner, Moler & Nash 1989 , §5.2)
Stoer y Bulirsch comentan que esta estimación de error es inconveniente en la práctica, ya que puede ser difícil estimar la derivada de orden 2 n y, además, el error real puede ser mucho menor que un límite establecido por la derivada. Otro enfoque consiste en utilizar dos reglas de cuadratura gaussianas de diferentes órdenes y estimar el error como la diferencia entre los dos resultados. Para este propósito, las reglas de cuadratura de Gauss-Kronrod pueden ser útiles.
Reglas de Gauss-Kronrod
Si se subdivide el intervalo [ a , b ] , los puntos de evaluación de Gauss de los nuevos subintervalos nunca coinciden con los puntos de evaluación anteriores (excepto en cero para los números impares), por lo que el integrando debe evaluarse en todos los puntos. Las reglas de Gauss-Kronrod son extensiones de las reglas de cuadratura de Gauss generadas al sumar n + 1 puntos a una regla de n puntos de tal manera que la regla resultante es de orden 2 n + 1 . Esto permite calcular estimaciones de orden superior mientras se reutilizan los valores de función de una estimación de orden inferior. La diferencia entre una regla de cuadratura de Gauss y su extensión de Kronrod se usa a menudo como una estimación del error de aproximación.
Reglas de Gauss-Lobatto
También conocida como cuadratura de Lobatto ( Abramowitz y Stegun 1972 , p. 888)
, nombrado en honor al matemático holandés Rehuel Lobatto . Es similar a la cuadratura gaussiana con las siguientes diferencias:- Los puntos de integración incluyen los puntos finales del intervalo de integración.
- Es precisa para polinomios hasta grado 2 n - 3 , donde n es el número de puntos de integración ( Quarteroni, Sacco & Saleri 2000 ).
Cuadratura de Lobatto de la función f ( x ) en el intervalo [−1, 1] :
Abscisas: x i es elst cero de , aquí denota el polinomio estándar de Legendre de m-ésimo grado y el guión denota la derivada.
Pesos:
Recordatorio:
Algunos de los pesos son:
Número de puntos, n | Puntos, x i | Pesos, w i |
---|---|---|
Una variante adaptativa de este algoritmo con 2 nodos interiores [3] se encuentra en GNU Octave y MATLAB como quadl
y integrate
. [4] [5]
Referencias
- Implementación de una solución precisa en cuadratura gaussiana generalizada para encontrar el campo elástico en un medio anisotrópico homogéneo
- Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 25.4, Integración". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 .
- Anderson, Donald G. (1965). "Fórmulas de cuadratura gaussiana para ∫ 0 1 - en ( X ) F ( X ) D X {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} - \ ln (x) f (x) dx} " . Math. Comp . 19 (91): 477–481. Doi : 10.1090 / s0025-5718-1965-0178569-1 .
- Golub, Gene H .; Welsch, John H. (1969), "Cálculo de las reglas de cuadratura de Gauss", Matemáticas de la computación , 23 (106): 221-230, doi : 10.1090 / S0025-5718-69-99647-1 , JSTOR 2004418
- Gautschi, Walter (1968). "Construcción de fórmulas de cuadratura de Gauss-Christoffel". Matemáticas. Comp . 22 (102). págs. 251-270. doi : 10.1090 / S0025-5718-1968-0228171-0 . Señor 0228171 .
- Gautschi, Walter (1970). "Sobre la construcción de reglas de cuadratura gaussianas a partir de momentos modificados". Matemáticas. Comp . 24 . págs. 245-260. doi : 10.1090 / S0025-5718-1970-0285117-6 . Señor 0285177 .
- Piessens, R. (1971). "Fórmulas de cuadratura gaussiana para la integración numérica de la integral de Bromwich y la inversión de la transformada de Laplace". J. Eng. Matemáticas . 5 (1). págs. 1–9. Código bibliográfico : 1971JEnMa ... 5 .... 1P . doi : 10.1007 / BF01535429 .
- Danloy, Bernard (1973). "Construcción numérica de fórmulas de cuadratura gaussiana para y ". Math. Comp . 27 (124). Págs. 861–869. Doi : 10.1090 / S0025-5718-1973-0331730-X . MR 0331730 .
- Kahaner, David; Moler, Cleve ; Nash, Stephen (1989), métodos numéricos y software , Prentice-Hall , ISBN 978-0-13-627258-8
- Sagar, Robin P. (1991). "Una cuadratura gaussiana para el cálculo de integrales de Fermi-Dirac generalizadas". Computación. Phys. Comun . 66 (2-3): 271-275. Código Bibliográfico : 1991CoPhC..66..271S . doi : 10.1016 / 0010-4655 (91) 90076-W .
- Yakimiw, E. (1996). "Cálculo exacto de pesos en reglas clásicas de cuadratura de Gauss-Christoffel". J. Comput. Phys . 129 (2): 406–430. Código Bibliográfico : 1996JCoPh.129..406Y . doi : 10.1006 / jcph.1996.0258 .
- Laurie, Dirk P. (1999), "Recuperación precisa de coeficientes de recursividad a partir de fórmulas de cuadratura gaussiana", J. Comput. Apl. Matemáticas. , 112 (1–2): 165–180, doi : 10.1016 / S0377-0427 (99) 00228-9
- Laurie, Dirk P. (2001). "Cálculo de fórmulas de cuadratura tipo Gauss" . J. Comput. Apl. Matemáticas . 127 (1–2): 201–217. Código Bibliográfico : 2001JCoAM.127..201L . doi : 10.1016 / S0377-0427 (00) 00506-9 .
- Riener, Cordian; Schweighofer, Markus (2018). "Aproximaciones de optimización a la cuadratura: Nuevas caracterizaciones de la cuadratura gaussiana en la línea y en cuadratura con pocos nodos en curvas algebraicas planas, en el plano y en dimensiones superiores". Revista de complejidad . 45 : 22–54. arXiv : 1607.08404 . doi : 10.1016 / j.jco.2017.10.002 .
- Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introducción al análisis numérico (3.a ed.), Springer , ISBN 978-0-387-95452-3.
- Temme, Nico M. (2010), "§3.5 (v): Cuadratura de Gauss" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 4.6. Cuadraturas gaussianas y polinomios ortogonales" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
- Gil, Amparo; Segura, Javier; Temme, Nico M. (2007), "§5.3: Cuadratura de Gauss", Métodos numéricos para funciones especiales , SIAM, ISBN 978-0-89871-634-4
- Quarteroni, Alfio; Sacco, Riccardo; Saleri, Fausto (2000). Matemáticas numéricas . Nueva York: Springer-Verlag . págs. 422 , 425. ISBN 0-387-98959-5.
- Walter Gautschi: "Un repositorio de software para cuadraturas gaussianas y funciones de Christoffel", SIAM, ISBN 978-1-611976-34-2 (2020).
- Específico
- ^ Methodus nova integralium valores por aproximationem inveniendi. En: Com. Soc. Sci. Göttingen Math. Band 3, 1815, S. 29–76, Gallica , datiert 1814, auch in Werke, Band 3, 1876, S. 163–196.
- ^ CGJ Jacobi : Ueber Gauß 'neue Methode, die Werthe der Integrale näherungsweise zu finden. En: Journal für Reine und Angewandte Mathematik. Band 1, 1826, S. 301-308, (en línea) , und Werke, Band 6.
- ^ Gander, Walter; Gautschi, Walter (2000). "Cuadratura adaptativa - revisada" . BIT Matemáticas numéricas . 40 (1): 84–101. doi : 10.1023 / A: 1022318402393 .
- ^ "Integración numérica - MATLAB integral" .
- ^ "Funciones de una variable (octava GNU)" . Consultado el 28 de septiembre de 2018 .
enlaces externos
- "Fórmula de cuadratura de Gauss" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- ALGLIB contiene una colección de algoritmos para la integración numérica (en C # / C ++ / Delphi / Visual Basic / etc.)
- Biblioteca científica GNU : incluye la versión C de los algoritmos QUADPACK (consulte también Biblioteca científica GNU )
- De la cuadratura de Lobatto a la constante de Euler e
- Regla de integración de cuadratura gaussiana: notas, PPT, Matlab, Mathematica, Maple, Mathcad en el Instituto de métodos numéricos holísticos
- Weisstein, Eric W. "Cuadratura Legendre-Gauss" . MathWorld .
- Cuadratura gaussiana por Chris Maes y Anton Antonov, Wolfram Demonstrations Project .
- Pesos tabulados y abscisas con código fuente de Mathematica , alta precisión (16 y 256 lugares decimales) Pesos en cuadratura y abscisas de Legendre-Gauss, para n = 2 a n = 64, con código fuente de Mathematica.
- Código fuente de Mathematica distribuido bajo GNU LGPL para abscisas y generación de pesos para funciones de ponderación arbitrarias W (x), dominios de integración y precisiones.
- Cuadratura gaussiana en Boost.Math, para precisión arbitraria y orden de aproximación
- Cuadratura Gauss-Kronrod en Boost.Math
- Nodos y pesos de la cuadratura gaussiana