Distribución normal

${\ displaystyle {\ mathcal {I}} (\ mu, \ sigma) = {\ begin {pmatrix} 1 / \ sigma ^ {2} & 0 \\ 0 & 2 / \ sigma ^ {2} \ end {pmatrix}}}$

En teoría de la probabilidad , un normales (o gaussiana o Gauss o Laplace-Gauss ) de distribución es un tipo de distribución de probabilidad continua para un valor real- variable aleatoria . La forma general de su función de densidad de probabilidad es

El parámetro es la media o expectativa de la distribución (y también su mediana y moda ), mientras que el parámetro es su desviación estándar . La varianza de la distribución es . ^[1] Se dice que una variable aleatoria con una distribución gaussiana tiene una distribución normal y se denomina desviación normal .${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ sigma ^ {2}}$

Las distribuciones normales son importantes en estadística y se utilizan a menudo en las ciencias naturales y sociales para representar variables aleatorias de valor real cuyas distribuciones no se conocen. ^{[2] [3]} Su importancia se debe en parte al teorema del límite central . Establece que, bajo algunas condiciones, el promedio de muchas muestras (observaciones) de una variable aleatoria con media finita y varianza es en sí misma una variable aleatoria, cuya distribución converge a una distribución normal a medida que aumenta el número de muestras. Por lo tanto, las cantidades físicas que se espera sean la suma de muchos procesos independientes, como los errores de medición., a menudo tienen distribuciones que son casi normales. ^[4]

Además, las distribuciones gaussianas tienen algunas propiedades únicas que son valiosas en los estudios analíticos. Por ejemplo, cualquier combinación lineal de una colección fija de desviaciones normales es una desviación normal. Muchos resultados y métodos, como la propagación de la incertidumbre y el ajuste de parámetros por mínimos cuadrados , pueden derivarse analíticamente de forma explícita cuando las variables relevantes se distribuyen normalmente.

Una distribución normal a veces se denomina informalmente curva de campana . ^[5] Sin embargo, muchas otras distribuciones tienen forma de campana (como las distribuciones de Cauchy , t de Student y logística ).

Para la distribución normal, los valores inferiores a una desviación estándar de la media representan el 68,27% del conjunto; mientras que dos desviaciones estándar de la media representan el 95,45%; y tres desviaciones estándar representan el 99,73%.

A medida que aumenta el número de eventos discretos, la función comienza a parecerse a una distribución normal

Comparación de funciones de densidad de probabilidad, para que la suma de dados justos de 6 lados muestre su convergencia a una distribución normal con el aumento , de acuerdo con el teorema del límite central. En el gráfico inferior derecho, los perfiles suavizados de los gráficos anteriores se reescalan, se superponen y se comparan con una distribución normal (curva negra).${\ Displaystyle p (k)}$${\ Displaystyle n}$${\ displaystyle na}$

a: Densidad de probabilidad de una función de una variable normal con y . b: densidad de probabilidad de una función de dos variables normales y , en donde , , , , y . c: Mapa de calor de la densidad de probabilidad conjunta de dos funciones de dos variables normales correlacionadas y , donde , , , , y . d: Densidad de probabilidad de una función de 4 iid variables normales estándar. Estos se calculan mediante el método numérico de trazado de rayos. ^[39]${\ Displaystyle \ cos x ^ {2}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ mu = -2}$${\ Displaystyle \ sigma = 3}$${\ Displaystyle x ^ {y}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle \ mu _ {x} = 1}$${\ Displaystyle \ mu _ {y} = 2}$${\ Displaystyle \ sigma _ {x} =. 1}$${\ Displaystyle \ sigma _ {y} =. 2}$${\displaystyle \rho _{xy}=.8}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mu _{x}=-2}$${\displaystyle \mu _{y}=5}$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=10}$${\displaystyle \sigma _{y}^{2}=20}$${\displaystyle \rho _{xy}=.495}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\vert x_{i}\vert }$

El estado fundamental de un oscilador armónico cuántico tiene la distribución gaussiana .

Histograma de los anchos de sépalos para Iris versicolor del conjunto de datos de flores de Iris de Fisher , con una distribución normal superpuesta de mejor ajuste.

Distribución normal acumulada ajustada a las precipitaciones de octubre, ver ajuste de distribución

La máquina de frijoles , un dispositivo inventado por Francis Galton , se puede llamar el primer generador de variables aleatorias normales. Esta máquina consta de un tablero vertical con filas de pines intercalados. Las bolas pequeñas se dejan caer desde la parte superior y luego rebotan aleatoriamente hacia la izquierda o hacia la derecha cuando golpean los pines. Las bolas se recogen en contenedores en la parte inferior y se asientan en un patrón que se asemeja a la curva gaussiana.

Carl Friedrich Gauss descubrió la distribución normal en 1809 como una forma de racionalizar el método de mínimos cuadrados .

Pierre-Simon Laplace demostró el teorema del límite central en 1810, consolidando la importancia de la distribución normal en estadística.