El teorema de Gel'fand-Raikov (Гельфанд-Райков) es un teorema en la teoría de grupos topológicos localmente compactos . Afirma que un grupo localmente compacto está completamente determinado por sus representaciones unitarias (posiblemente de dimensión infinita). El teorema se publicó por primera vez en 1943. [1] [2]
Una representación unitaria de un grupo localmente compacto G define un conjunto de funciones continuas en G por < e i , ρ ( g ) e j > donde { e i } es alguna base de vectores ortonormales en H (los coeficientes de la matriz ). El conjunto de elementos de la matriz para todas las representaciones unitarias es invariante bajo conjugación compleja debido a la existencia de la representación conjugada compleja en.
El teorema de Gel'fand-Raikov ahora establece que los puntos de G están separados por sus representaciones unitarias irreductibles, es decir, para cualesquiera dos elementos del grupo g , h ∈ G existe un espacio de Hilbert H y una representación unitaria irreducible ρ : G → U ( H ) tal que ρ ( g ) ≠ ρ ( h ). Los elementos de la matriz, por tanto, separan puntos y luego se sigue del teorema de Stone-Weierstrass que en cada subconjunto compacto del grupo, los elementos de la matriz son densos en el espacio de funciones continuas, que determinan el grupo por completo.
Ver también
Referencias
- ^ И. М. Гельфанд, Д. А. Райков, Неприводимые унитарные представления локально бикомпактных групп, Матем. сб., 13 (55): 2–3 (1943), 301–316 , (I. Gelfand, D. Raikov, "Representaciones unitarias irreductibles de grupos localmente bicompactos", Recueil Mathématique. NS, 13 (55): 2– 3 (1943), 301–316)
- ^ Yoshizawa, Hisaaki. "Representaciones unitarias de grupos localmente compactos. Reproducción del teorema de Gelfand-Raikov". Osaka Mathematical Journal 1.1 (1949): 81–89 .