En matemáticas , un coeficiente de matriz (o elemento de matriz ) es una función en un grupo de una forma especial, que depende de una representación lineal del grupo y datos adicionales. Precisamente, se trata de una función en un grupo topológico compacto G obtiene por componer una representación de G en un espacio vectorial V con un mapa lineal de los endomorfismos de V en V subyacente 's campo . También se denomina función representativa .[1] Se originan de forma natural a partir de representaciones de dimensión finita de G como los matriz funciones -Entrada de las representaciones de matriz correspondientes. El Peter-Weyl teorema dice que los coeficientes de la matriz en G son densos en el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en G .
Los coeficientes matriciales de las representaciones de los grupos de Lie resultaron estar íntimamente relacionados con la teoría de funciones especiales , proporcionando un enfoque unificador de gran parte de esta teoría. Las propiedades de crecimiento de los coeficientes de la matriz juegan un papel clave en la clasificación de representaciones irreductibles de grupos localmente compactos , en particular, grupos reductivos reales y p -ádicos . El formalismo de los coeficientes matriciales conduce a una generalización de la noción de forma modular . En una dirección diferente, las propiedades de mezcla de ciertos sistemas dinámicos están controladas por las propiedades de los coeficientes de matriz adecuados.
Definición
Un coeficiente de matriz (o elemento de matriz ) de una representación lineal ρ de un grupo G en un espacio vectorial V es una función f v, η en el grupo, del tipo
donde v es un vector en V , η es un continuo funcional lineal en V , y g es un elemento de G . Esta función toma valores escalares en G . Si V es un espacio de Hilbert , entonces, según el teorema de representación de Riesz , todos los coeficientes de la matriz tienen la forma
para algunos vectores v y w en V .
Para V de dimensión finita, yv y w tomados de una base estándar , esta es en realidad la función dada por la entrada de la matriz en un lugar fijo.
Aplicaciones
Grupos finitos
Los coeficientes matriciales de representaciones irreductibles de grupos finitos juegan un papel destacado en la teoría de la representación de estos grupos, desarrollada por Burnside , Frobenius y Schur . Satisfacen las relaciones de ortogonalidad de Schur . El carácter de una representación ρ es una suma de los coeficientes de la matriz f v i , η i , donde { v i } forman una base en el espacio de representación de ρ, y {η i } forman la base dual .
Grupos de Lie de dimensión finita y funciones especiales
Élie Cartan consideró por primera vez los coeficientes matriciales de las representaciones de los grupos de Lie . Israel Gelfand dio cuenta de que muchos clásicos funciones especiales y polinomios ortogonales son expresable como los coeficientes de la matriz de la representación de grupos de Lie G . [2] [ cita requerida ] Esta descripción proporciona un marco uniforme para probar muchas propiedades hasta ahora dispares de funciones especiales, como fórmulas de adición, ciertas relaciones de recurrencia, relaciones de ortogonalidad, representaciones integrales y propiedades de valores propios con respecto a operadores diferenciales. [3] Las funciones especiales de la física matemática, como las funciones trigonométricas , la función hipergeométrica y sus generalizaciones, los polinomios ortogonales de Legendre y Jacobi y las funciones de Bessel surgen como coeficientes matriciales de representaciones de grupos de Lie. Las funciones Theta y las series analíticas reales de Eisenstein , importantes en geometría algebraica y teoría de números , también admiten tales realizaciones.
Formas automórficas
Un poderoso enfoque de la teoría de las formas modulares clásicas , iniciado por Gelfand, Graev y Piatetski-Shapiro , las ve como coeficientes matriciales de ciertas representaciones unitarias de dimensión infinita, representaciones automórficas de grupos adeélicos . Este enfoque fue desarrollado por Langlands , para grupos algebraicos reductivos generales sobre campos globales .
Ver también
- Teorema de Peter-Weyl
- Funciones esféricas
Notas
- ^ Theodor Bröcker y Tammo tom Dieck, Representaciones de grupos de mentiras compactos , Textos de posgrado en matemáticas 98 , Springer-Verlag, Berlín, 1995.
- ^ "Funciones especiales" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ Consulte las referencias para el tratamiento completo.
Referencias
- Vilenkin, N. Ja. Funciones especiales y teoría de las representaciones de grupos . Traducido del ruso por VN Singh. Traducciones de monografías matemáticas, vol. 22 Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI 1968
- Vilenkin, N. Ja., Klimyk, AU Representación de grupos de Lie y funciones especiales. Avances recientes . Traducido del manuscrito ruso por VA Groza y AA Groza. Matemáticas y sus aplicaciones, 316. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1995. xvi + 497 pp. ISBN 0-7923-3210-5
- Vilenkin, N. Ja., Klimyk, AU Representación de grupos de Lie y funciones especiales. Vol. 3. Grupos clásicos y cuánticos y funciones especiales . Traducido del ruso por VA Groza y AA Groza. Matemáticas y sus aplicaciones (Serie soviética), 75. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1992. xx + 634 pp. ISBN 0-7923-1493-X
- Vilenkin, N. Ja., Klimyk, AU Representación de grupos de Lie y funciones especiales. Vol. 2. Representaciones de clase I, funciones especiales y transformaciones integrales . Traducido del ruso por VA Groza y AA Groza. Matemáticas y sus aplicaciones (Serie soviética), 74. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993. xviii + 607 pp. ISBN 0-7923-1492-1
- Vilenkin, N. Ja., Klimyk, AU Representación de grupos de Lie y funciones especiales. Vol. 1. Grupos de Lie más simples, funciones especiales y transformaciones integrales . Traducido del ruso por VA Groza y AA Groza. Matemáticas y sus aplicaciones (Serie soviética), 72. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. xxiv + 608 págs. ISBN 0-7923-1466-2