En la teoría matemática de la probabilidad , un proceso de renovación generalizada (GRP) o proceso de renovación G es un proceso de punto estocástico utilizado para modelar el comportamiento de falla / reparación de sistemas reparables en ingeniería de confiabilidad . El proceso de punto de Poisson es un caso particular de GRP.
Modelo probabilístico
Era virtual
Kijima y Sumita introducen el proceso de renovación G a través de la noción de la era virtual . [1]
- dónde:
- y es la edad real y virtual (respectivamente) del sistema en / después de la i- ésima reparación,
- es el factor de restauración (también conocido como factor de efectividad de la reparación),
- , representa la condición de una reparación perfecta, donde la antigüedad del sistema se restablece a cero después de la reparación. Esta condición corresponde al Proceso de Renovación Ordinaria .
- , representa la condición de una reparación mínima, donde la condición del sistema después de la reparación permanece igual que justo antes de la reparación. Esta condición corresponde al proceso de Poisson no homogéneo .
- , representa la condición de una reparación general, donde la condición del sistema se encuentra entre una reparación perfecta y una reparación mínima. Esta condición corresponde al Proceso de Renovación Generalizada .
Kaminskiy y Krivtsov [2] ampliaron los modelos de Kijima permitiendo q > 1, de modo que la reparación dañe (envejezca) el sistema en un grado mayor que justo antes de la falla respectiva.
Ecuación de renovación G
Matemáticamente, el proceso de renovación G se cuantifica mediante la solución de la ecuación de renovación G:
- dónde,
- f ( t ) es la función de densidad de probabilidad (PDF) de la distribución del tiempo de falla subyacente,
- F ( t ) es la función de distribución acumulada (CDF) de la distribución del tiempo de falla subyacente,
- q es el factor de restauración,
- es el vector de parámetros de la distribución subyacente del tiempo de falla.
Una solución de forma cerrada a la ecuación G-renovación no es posible. Además, las aproximaciones numéricas son difíciles de obtener debido a las series infinitas recurrentes. Una Monte Carlo enfoque a la solución del G-renovación de la ecuación fue desarrollada por Kaminiskiy y Krivtsov. [2] [3]
Estimación estadística
El proceso de renovación G ganó popularidad práctica en la ingeniería de confiabilidad solo después de que se dispuso de métodos para estimar sus parámetros.
Enfoque de Montecarlo
La estimación LSQ no lineal del proceso de renovación G fue ofrecida por primera vez por Kaminskiy & Krivtsov. [2] Un tiempo entre llegadas aleatorio de un proceso G-Renewal parametrizado viene dado por:
- dónde,
- es la edad real acumulada antes de la i- ésima llegada,
- es una variable aleatoria distribuida uniformemente,
- es el CDF de la distribución del tiempo de falla subyacente.
Posteriormente, la solución de Monte Carlo se mejoró [4] y se implementó como un recurso web. [5]
Enfoque de máxima verosimilitud
Los procedimientos de máxima verosimilitud fueron discutidos posteriormente por Yañez, et. al, [6] y Mettas & Zhao. [7] Kahle & Love abordó en detalle la estimación del factor de restauración de renovación G. [8]
Método de regularización en la estimación de parámetros de GRP
La estimación de los parámetros del proceso de renovación de G es un problema inverso mal planteado y, por lo tanto, la solución puede no ser única y es sensible a los datos de entrada. Krivtsov & Yevkin [9] [10] sugirieron primero estimar los parámetros de distribución subyacentes usando el tiempo hasta los primeros fallos solamente. Luego, los parámetros obtenidos se utilizan como valores iniciales para el segundo paso, donde todos los parámetros del modelo (incluidos los factores de restauración) se estiman simultáneamente. Este enfoque permite, por un lado, evitar soluciones irrelevantes (máximos o mínimos locales incorrectos de la función objetivo) y, por otro lado, mejorar la velocidad de cálculo, ya que el número de iteraciones depende significativamente de los valores iniciales seleccionados.
Referencias
- ^ Kijima, Masaaki; Sumita, Ushio. "Una generalización útil de la teoría de la renovación: procesos de recuento gobernados por incrementos de Markoviano no negativos" . Fideicomiso de probabilidad aplicada.
- ^ a b c Kaminskiy, diputado; Krivtsov, VV (1998). "Un enfoque de Monte Carlo para el análisis de confiabilidad del sistema reparable". Evaluación y gestión probabilística de la seguridad . Londres: Springer – Verlag. pag. 1063–1068.
- ^ Krivtsov, VV (2000). Modelización y estimación del proceso de renovación generalizada en análisis de confiabilidad de sistemas reparables (PhD). Universidad de Maryland, College Park, ISBN / ISSN: 0599725877.
- ^ Yevkin, A. (2011). "Enfoque de Monte Carlo para la evaluación de la disponibilidad y la intensidad de fallas en el modelo de proceso de renovación G". Avances en Seguridad, Confiabilidad y Gestión de Riesgos . Londres: CRC Press. pag. 1015-1020.
- ^ Yevkin, A. "Calculadora del proceso de renovación G" . Consultado el 13 de mayo de 2021 .
- ^ Yañez, M .; Joglar, F .; Modarres, M. (agosto de 2002). "Proceso de renovación generalizado para análisis de sistemas reparables con experiencia limitada en fallas" . Ingeniería de confiabilidad y seguridad del sistema . 77 (2): 167–180.
- ^ Mettas, A .; Zhao, W. (24 de enero de 2005). Modelización y análisis de sistemas reparables con reparación general . Simposio anual de confiabilidad y mantenibilidad 2005. Alexandria, VA.
- ^ Kahle, W .; Amor, C. (2003). "MODELANDO LA INFLUENCIA DE LAS ACCIONES DE MANTENIMIENTO" . Métodos matemáticos y estadísticos en confiabilidad : 387–399.
- ^ Krivtsov, VV; Yevkin, O. (julio de 2013). "Estimación de los parámetros del proceso de renovación G como un problema inverso mal planteado" . Ingeniería de confiabilidad y seguridad del sistema . 115 : 10-18.
- ^ Krivtsov, Vasiliy; Yevkin, Alex (2017). Técnicas de regularización para la predicción de fallas recurrentes bajo modelos de Kijima . Simposio anual de confiabilidad y mantenibilidad 2017. Orlando, FL.