Wulf nació el 17 de mayo de 1895 en Bremen . Era hijo de un agente de aduanas. Asistió a la escuela secundaria en Dechanat Street.
Alrededor de 1910, Henrich Focke , con la ayuda de su hermano Wilhelm Focke , construyó un avión canard simple de tubos de acero y bambú. Estaba propulsado por un motor de ocho caballos de fuerza. Sus intentos de volar en el patio de armas de Bremen fracasaron, pero despertaron el interés de Wulf, de 15 años.
Wulf estaba tan entusiasmado con volar que renunció antes de graduarse de la escuela secundaria y en su lugar fabricó aviones. Se ofreció a trabajar con Focke, lo que Focke aceptó. A partir de 1911, Wulf y Focke diseñaron aviones y los construyeron con los medios más simples. En 1912 completaron un monoplano volante , que voló Wulf.
El tratado que puso fin a la Primera Guerra Mundial prohibió la construcción de aviones con motores en Alemania hasta 1923. Pero Wulf y los hermanos Focke continuaron construyendo en secreto sus aviones en el sótano de la casa de la familia Focke. Después de 1921, Wulf voló el avión que construyeron. En 1923, Wulf también trabajó como instructor de vuelo. También en 1923, Focke y Wulf fundaron Bremen Aircraft Construction Company (Bremer Flugzeugbau-Gesellschaft), que pasó a llamarse Focke-Wulf-Aircraft Construction Inc. (Focke-Wulf-Flugzeugbau AG) un año después. Wulf fue el director gerente, director técnico de operaciones y piloto.
Como estudio preliminar, habían construido un monoplano ligero, que voló por primera vez en noviembre de 1921. A éste le siguió el conocido con el nombre de avión comercial Seagull and duck .
Wulf está enterrado en Bremen en el cementerio Osterholzer (campo E), cerca del puente hacia la Capilla Norte.