Shaw nació en Bierton , Buckinghamshire , y se educó en Magdalen Hall, Oxford , donde recibió su maestría en 1772. Adoptó la profesión de médico. En 1786 se convirtió en profesor asistente de botánica en la Universidad de Oxford . Fue cofundador de la Linnean Society en 1788 y se convirtió en miembro de la Royal Society en 1789.
En 1791, Shaw se convirtió en asistente del departamento de historia natural del Museo Británico , sucediendo a Edward Whitaker Gray como guardián en 1806. Descubrió que la mayoría de los artículos donados al museo por Hans Sloane estaban en muy malas condiciones. Se envió material médico y anatómico al museo del Royal College of Surgeons , pero muchos de los animales de peluche y las aves se habían deteriorado y tuvieron que ser quemados. Fue sucedido después de su muerte por su asistente Charles Konig .
Shaw publicó una de las primeras descripciones en inglés con nombres científicos de varios animales australianos en su "Zoology of New Holland " (1794). Fue uno de los primeros científicos en examinar un ornitorrinco y publicó la primera descripción científica del mismo en The Naturalist's Miscellany en 1799. [2]