En los campos del diseño de mecanismos y la teoría de la elección social , el teorema de Gibbard es un resultado probado por el filósofo Allan Gibbard en 1973. [1] Establece que para cualquier proceso determinista de decisión colectiva, debe cumplirse al menos una de las siguientes tres propiedades:
- El proceso es dictatorial, es decir, existe un agente distinguido que puede imponer el resultado;
- El proceso limita los posibles resultados a solo dos opciones;
- El proceso está abierto a la votación estratégica : una vez que un agente ha identificado sus preferencias, es posible que no tenga a su disposición ninguna acción que defienda mejor estas preferencias independientemente de las acciones de los otros agentes.
Un corolario de este teorema es el teorema de Gibbard-Satterthwaite sobre las reglas de votación. La principal diferencia entre los dos es que el teorema de Gibbard-Satterthwaite se limita a las reglas de votación clasificadas (ordinales) : la acción de un votante consiste en dar una clasificación de preferencia sobre las opciones disponibles. El teorema de Gibbard es más general y considera procesos de decisión colectiva que pueden no ser ordinales: por ejemplo, sistemas de votación donde los votantes asignan calificaciones a los candidatos. El teorema de Gibbard se puede probar utilizando el teorema de imposibilidad de Arrow .
El teorema de Gibbard se generaliza en sí mismo mediante el teorema de Gibbard de 1978 [2] y el teorema de Hylland , que extienden estos resultados a procesos no deterministas, es decir, donde el resultado puede no solo depender de las acciones de los agentes, sino que también puede involucrar un elemento de azar.
Descripción general
Considere algunos votantes , y que deseen seleccionar una opción entre tres alternativas: , y . Supongamos que utilizan el voto de aprobación : cada votante asigna a cada candidato el grado 1 (aprobación) o 0 (desaprobación). Por ejemplo, es una boleta autorizada: significa que el votante aprueba a los candidatos y pero desaprueba al candidato . Una vez recolectadas las papeletas, el candidato con la calificación total más alta es declarado ganador. Los lazos entre los candidatos se rompen por orden alfabético: por ejemplo, si hay un empate entre los candidatos y , luego gana.
Suponga que el votante prefiere alternativa , luego y entonces . ¿Qué papeleta defenderá mejor sus opiniones? Por ejemplo, considere las dos situaciones siguientes.
- Si los otros dos votantes votan respectivamente y , luego votante tiene solo una papeleta que conduce a la elección de su alternativa favorita : .
- Sin embargo, si asumimos, en cambio, que los otros dos votantes votaron respectivamente y , luego votante no debería votar porque hace ganar; ella debería votar, que hace ganar.
En resumen, votante enfrenta un dilema de voto estratégico: dependiendo de las papeletas que emitirán los otros votantes, o puede ser una papeleta que mejor defienda sus opiniones. Entonces decimos que la votación de aprobación no es sencilla : una vez que el votante ha identificado sus propias preferencias, no tiene a su disposición una boleta que defienda mejor sus opiniones en todas las situaciones.
El teorema de Gibbard establece que un proceso determinista de decisión colectiva no puede ser sencillo, excepto posiblemente en dos casos: si hay un agente distinguido que tiene un poder dictatorial, o si el proceso limita el resultado a solo dos opciones posibles.
Declaración formal
Dejar Ser el conjunto de alternativas , que también pueden denominarse candidatos en un contexto de votación. DejarSer el conjunto de agentes , que también pueden denominarse jugadores o votantes, según el contexto de aplicación. Para cada agente, dejar ser un conjunto que represente las estrategias disponibles para el agente; asumir quees finito. Dejar ser una función que, para cada -tupla de estrategias , mapea una alternativa. La funciónse llama forma de juego . En otras palabras, una forma de juego se define esencialmente como un juego de n jugadores , pero sin utilidades asociadas a los posibles resultados: describe únicamente el procedimiento, sin especificar a priori la ganancia que cada agente obtendría de cada resultado.
Nosotros decimos eso es sencillo si y solo si para cualquier agentey para cualquier orden estrictamente débil sobre las alternativas, existe una estrategia que es dominante para el agente cuando ella tiene preferencias : no existe un perfil de estrategias para los otros agentes de manera que otra estrategia , diferente de , conduciría a un resultado estrictamente mejor (en el sentido de ). Esta propiedad es deseable para un proceso de decisión democrático: significa que una vez que el agente ha identificado sus propias preferencias , ella puede elegir una estrategia que mejor defiende sus preferencias, sin necesidad de conocer ni adivinar las estrategias elegidas por los demás agentes.
Dejamos y denotar por el rango de , es decir, el conjunto de los posibles resultados de la forma del juego. Por ejemplo, decimos que tiene al menos 3 resultados posibles si y solo si la cardinalidad de es 3 o más. Dado que los conjuntos de estrategias son finitos,es finito también; por tanto, incluso si el conjunto de alternativas no se supone que sea finito, el subconjunto de posibles resultados es necesariamente así.
Nosotros decimos eso es dictatorial si y solo si existe un agenteque es un dictador , en el sentido de que para cualquier posible resultado, agente tiene una estrategia a su disposición que asegura que el resultado sea , cualesquiera que sean las estrategias elegidas por los demás agentes.
Teorema de Gibbard : si una forma de juego no es dictatorial y tiene al menos 3 resultados posibles, entonces no es sencillo.
Ejemplos de
Dictadura en serie
Suponemos que cada votante comunica un estricto orden débil sobre los candidatos. La dictadura en serie se define de la siguiente manera. Si el votante 1 tiene un candidato único más querido, entonces este candidato es elegido. De lo contrario, los posibles resultados se restringen a sus ex-aequo candidatos más queridos y se eliminan los demás candidatos. Luego se examina la boleta del votante 2: si tiene un candidato único más querido entre los no eliminados, entonces este candidato es elegido. De lo contrario, la lista de posibles resultados se reduce de nuevo, etc. Si aún quedan varios candidatos no eliminados después de que se hayan examinado todas las papeletas, se utiliza una regla arbitraria de desempate.
Esta forma de juego es sencilla: cualesquiera que sean las preferencias de un votante, tiene una estrategia dominante que consiste en declarar su orden de preferencia sincero. También es dictatorial, y su dictador es el votante 1: si desea ver candidato elegido, entonces solo tiene que comunicar un orden de preferencia donde es el candidato único más querido.
Voto por mayoría simple
Si solo hay 2 resultados posibles, una forma de juego puede ser sencilla y no dictatorial. Por ejemplo, es el caso del voto de mayoría simple: cada votante emite su voto por la alternativa que más le gusta (entre los dos posibles resultados), y la alternativa con más votos es declarada ganadora. Esta forma de juego es sencilla porque siempre es óptimo votar por la alternativa que más nos guste (a menos que uno sea indiferente entre ellas). Sin embargo, claramente no es dictatorial. Muchas otras formas de juego son sencillas y no dictatoriales: por ejemplo, suponga que la alternativa gana si obtiene dos tercios de los votos, y gana de lo contrario.
Una forma de juego que muestra que lo contrario no se sostiene
Considere la siguiente forma de juego. El votante 1 puede votar por un candidato de su elección o puede abstenerse. En el primer caso, el candidato especificado se elige automáticamente. De lo contrario, los otros votantes utilizan una regla de votación clásica, por ejemplo, el conteo de Borda . Esta forma de juego es claramente dictatorial, porque el votante 1 puede imponer el resultado. Sin embargo, no es sencillo: los otros votantes enfrentan el mismo problema de votación estratégica que en el conteo habitual de Borda. Por tanto, el teorema de Gibbard es una implicación y no una equivalencia.
notas y referencias
- ^ Gibbard, Allan (1973). "Manipulación de esquemas de votación: un resultado general" (PDF) . Econometrica . 41 (4): 587–601. doi : 10.2307 / 1914083 . JSTOR 1914083 .
- ^ Gibbard, Allan (1978). "Sencillez de los formularios de juego con las loterías como resultados" (PDF) . Econometrica . 46 (3): 595–614. doi : 10.2307 / 1914235 .