En el campo matemático del análisis complejo , una función analítica global es una generalización de la noción de función analítica que permite que las funciones tengan múltiples ramas . Las funciones analíticas globales surgen naturalmente al considerar las posibles continuaciones analíticas de una función analítica, ya que las continuaciones analíticas pueden tener una monodromía no trivial . Son una de las bases de la teoría de las superficies de Riemann .
Definición
La siguiente definición está en Ahlfors (1979) , pero también se encuentra en Weyl o quizás en Weierstrass. Una función analítica en un conjunto abierto U se denomina elemento de función. Se dice que dos elementos de función ( f 1 , U 1 ) y ( f 2 , U 2 ) son continuaciones analíticas entre sí si U 1 ∩ U 2 ≠ ∅ y f 1 = f 2 en esta intersección. Una cadena de continuaciones analíticas es una secuencia finita de elementos funcionales ( f 1 , U 1 ),…, ( f n , U n ) de manera que cada par consecutivo son continuaciones analíticas entre sí; es decir, ( f i +1 , U i +1 ) es una continuación analítica de ( f i , U i ) para i = 1, 2,…, n - 1.
Una función analítica global es una familia f de elementos funcionales tales que, para cualquier ( f , U ) y ( g , V ) perteneciente a f , existe una cadena de continuaciones analíticas en f que comienza en ( f , U ) y termina en ( g , V ).
Una función analítica global completa es una función analítica global f que contiene cada continuación analítica de cada uno de sus elementos.
Definición de la teoría de la gavilla
Usando ideas de la teoría de la gavilla , la definición se puede simplificar. En estos términos, una función analítica global completa es un haz de gérmenes de funciones analíticas conectadas por un camino que es máxima en el sentido de que no está contenida (como un espacio etale ) dentro de ningún otro haz conectado por un camino de gérmenes de funciones analíticas.
Referencias
- Ahlfors, Lars (1979), Análisis complejo (3.a ed.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-000657-7