Ecuación de equilibrio

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En la teoría de la probabilidad , una ecuación de equilibrio es una ecuación que describe el flujo de probabilidad asociado con una cadena de Markov dentro y fuera de los estados o conjunto de estados. ^[1]

Las ecuaciones de equilibrio global (también conocidas como ecuaciones de equilibrio completo ^[2] ) son un conjunto de ecuaciones que caracterizan la distribución de equilibrio (o cualquier distribución estacionaria) de una cadena de Markov, cuando tal distribución existe.

Para una cadena de Markov de tiempo continuo con espacio de estado , tasa de transición de estado a dada por y distribución de equilibrio dada por , las ecuaciones de balance global están dadas por ^[3]${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\ estilo de visualización i}$${\ estilo de visualización j}$${\displaystyle q_{ij}}$${\ estilo de visualización \ pi}$

para todos Aquí representa el flujo de probabilidad de un estado a otro . Entonces, el lado izquierdo representa el flujo total desde el estado i hacia otros estados que no sean i , mientras que el lado derecho representa el flujo total desde todos los estados hacia el estado . En general, es computacionalmente intratable resolver este sistema de ecuaciones para la mayoría de los modelos de colas. ^[4]${\displaystyle i\in S}$${\displaystyle \pi _{i}q_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j\neq i}$${\displaystyle i}$

Para una cadena de Markov de tiempo continuo (CTMC) con matriz de tasa de transición , si se puede encontrar tal que para cada par de estados y${\displaystyle Q}$${\displaystyle \pi _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

se cumple, luego al sumar , se satisfacen las ecuaciones de equilibrio global y es la distribución estacionaria del proceso. ^[5] Si se puede encontrar tal solución, las ecuaciones resultantes suelen ser mucho más fáciles que resolver directamente las ecuaciones de equilibrio global. ^[4]${\displaystyle j}$${\displaystyle \pi }$

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