En matemáticas , la constante de Golomb-Dickman surge en la teoría de las permutaciones aleatorias y en la teoría de números . Su valor es
No se sabe si esta constante es racional o irracional. [1]
Definiciones
Sea a n el promedio, tomado de todas las permutaciones de un conjunto de tamaño n , de la longitud del ciclo más largo en cada permutación. Entonces la constante de Golomb-Dickman es
En el lenguaje de la teoría de la probabilidad ,es asintóticamente la longitud esperada del ciclo más largo en una permutación aleatoria distribuida uniformemente de un conjunto de tamaño n .
En teoría de números, la constante de Golomb-Dickman aparece en relación con el tamaño promedio del factor primo más grande de un número entero. Más precisamente,
dónde es el factor primo más grande de k . Entonces, si k es un entero de d dígitos, entonceses el número promedio asintótico de dígitos del factor primo más grande de k .
La constante de Golomb-Dickman aparece en la teoría de números de una manera diferente. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo factor primo más grande de n sea más pequeño que la raíz cuadrada del factor primo más grande de n ? Asintóticamente, esta probabilidad es. Más precisamente,
dónde es el segundo factor primo más grande n .
La constante de Golomb-Dickman también surge cuando consideramos la duración promedio del ciclo más grande de cualquier función desde un conjunto finito a sí mismo. Si X es un conjunto finito, si aplicamos repetidamente una función f : X → X a cualquier elemento x de este conjunto, eventualmente entra en un ciclo, lo que significa que para algunos k tenemospara n suficientemente grande ; el k más pequeño con esta propiedad es la duración del ciclo. Sea b n el promedio, tomado de todas las funciones desde un conjunto de tamaño n hasta él mismo, de la duración del ciclo más grande. Entonces Purdom y Williams [2] demostraron que
Fórmulas
Hay varias expresiones para . Éstas incluyen:
dónde es la integral logarítmica ,
dónde es la integral exponencial , y
y
dónde es la función de Dickman .
Ver también
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Golomb-Dickman Constant" . MathWorld .
- Secuencia OEIS A084945 (Expansión decimal de la constante de Golomb-Dickman)
- Finch, Steven R. (2003). Constantes matemáticas . Prensa de la Universidad de Cambridge. pp. 284 -286. ISBN 0-521-81805-2.
Referencias
- ^ Lagarias, Jeffrey (2013). "La constante de Euler: el trabajo de Euler y los desarrollos modernos". Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 50 (4): 527–628. arXiv : 1303.1856 . Código bibliográfico : 2013arXiv1303.1856L . doi : 10.1090 / S0273-0979-2013-01423-X .
- ^ Purdon, P .; Williams, JH (1968). "Duración del ciclo en una función aleatoria" . Trans. Amer. Matemáticas. Soc . 133 (2): 547–551. doi : 10.1090 / S0002-9947-1968-0228032-3 .