El lema de Gordan es un lema en geometría convexa y geometría algebraica . Puede expresarse de varias formas.
- Dejar ser una matriz de enteros. Dejar ser el conjunto de soluciones enteras no negativas de . Entonces existe un subconjunto finito de vectores, de modo que cada elemento de es una combinación lineal de estos vectores con coeficientes enteros no negativos. [1]
- El semigrupo de puntos integrales en un cono poliédrico convexo racional se genera de forma finita. [2]
- Una variedad tórica afín es una variedad algebraica (esto se deriva del hecho de que el espectro primo del álgebra de semigrupo de dicho semigrupo es, por definición, una variedad tórica afín ).
El lema lleva el nombre del matemático Paul Gordan (1837-1912). Algunos autores lo han escrito mal como "lema de Gordon".
Pruebas
Hay pruebas topológicas y algebraicas.
Prueba topológica
Dejar ser el cono dual del cono poliédrico racional dado. Dejar ser vectores integrales de modo que Entonces el Genera el cono dual ; de hecho, escribiendo C para el cono generado por's, tenemos: , que debe ser la igualdad. Ahora, si x está en el semigrupo
entonces se puede escribir como
dónde son números enteros no negativos y . Pero dado que xy la primera suma en el lado derecho son integrales, la segunda suma es un punto de red en una región acotada, por lo que solo hay un número finito de posibilidades para la segunda suma (la razón topológica). Por eso, se genera de forma finita.
Prueba algebraica
La demostración [3] se basa en el hecho de que un semigrupo S se genera finitamente si y solo si su álgebra de semigrupo es un álgebra generada finitamente sobre . Para probar el lema de Gordan, por inducción (cf. la demostración anterior), es suficiente probar el siguiente enunciado: para cualquier subsemigrupo unital S de,
- Si S se genera de forma finita, entonces , v un vector integral, se genera de forma finita.
Poner , que tiene una base . Tiene-calificación dada por
- .
Suponiendo que A se genera de forma finita y, por tanto, noetheriano. Se deduce del lema algebraico siguiente que es un álgebra generada finitamente sobre . Ahora, el semigrupoes la imagen de S bajo una proyección lineal, por lo tanto generada finitamente y por lo tantose genera de forma finita. Por eso, se genera finitamente entonces.
Lema : Sea A un-anillo graduado. Si A es un anillo noetheriano, entonces es un finitamente generado -álgebra.
Prueba: Sea yo el ideal de A generado por todos los elementos homogéneos de A de grado positivo. Dado que A es noetheriano, en realidad I es generado por un número finito de, homogéneo de grado positivo. Si f es homogénea de grado positivo, entonces podemos escribir con homogéneo. Si f tiene un grado suficientemente grande, entonces cadatiene grado positivo y estrictamente menor que el de f . Además, cada pieza de grado es un finitamente generado -módulo. (Prueba: Deje ser una cadena creciente de submódulos generados finitamente de con unión . Entonces la cadena de los idealesse estabiliza en pasos finitos; también lo hace la cadena) Así, por inducción en grado, vemos es un finitamente generado -álgebra.
Aplicaciones
Un hipergrafo múltiple sobre un determinado conjuntoes un conjunto múltiple de subconjuntos de(se llama "multi-hipergrafo" ya que cada hiperfrecuencia puede aparecer más de una vez). Un hipergrafo múltiple se llama regular si todos los vértices tienen el mismo grado . Se llama descomponible si tiene un subconjunto no vacío adecuado que también es regular. Para cualquier número entero n , seaser el grado máximo de un multihipergrafo indecomponible en n vértices. El lema de Gordan implica quees finito. [1] Prueba : para cada subconjunto S de vértices, defina una variable x S (un entero no negativo). Defina otra variable d (un entero no negativo). Considere el siguiente conjunto de n ecuaciones (una ecuación por vértice):
para todos
Cada solución ( x, d ) denota un multi-hipergráfico regular en, donde x define los hipermercados yd es el grado. Según el lema de Gordan, el conjunto de soluciones es generado por un conjunto finito de soluciones, es decir, hay un conjunto finito de multi-hipergrafos, de modo que cada multi-hipergrafo regular es una combinacin lineal de algunos elementos de . Cada hipergrafo múltiple no descomponible debe estar en(ya que, por definición, no puede ser generado por otro multi-hipergráfico). Por tanto, el conjunto de hipergráficos múltiples no descomponibles es finito.
Ver también
- El algoritmo de Birkhoff es un algoritmo que, dada una matriz bistocasática (una matriz que resuelve un conjunto particular de ecuaciones), encuentra una descomposición en matrices integrales. Está relacionado con el lema de Gordan en el sentido de que muestra que el conjunto de estas matrices es generado por un conjunto finito de matrices integrales.
Referencias
- ^ a b Alon, N; Berman, KA (1 de septiembre de 1986). "Hipergrafías regulares, lema de Gordon, lema de Steinitz y teoría invariante" . Revista de Teoría Combinatoria, serie A . 43 (1): 91–97. doi : 10.1016 / 0097-3165 (86) 90026-9 . ISSN 0097-3165 .
- ^ David A. Cox, Conferencias sobre variedades tóricas . Clase 1. Proposición 1.11.
- ^ Bruns, Winfried; Gubeladze, Joseph (2009). Politopos, anillos y K-teoría . Springer Monografías en Matemáticas. Saltador. doi : 10.1007 / b105283 . , Lema 4.12.