El cono dual y el cono polar son conceptos estrechamente relacionados en el análisis convexo , una rama de las matemáticas .
Cono doble
En un espacio vectorial
El cono dual C * de un subconjunto C en un espacio lineal X sobre los reales , por ejemplo, el espacio euclidiano R n , con el espacio dual X * es el conjunto
dónde es el emparejamiento de dualidad entre X y X * , es decir.
C * es siempre un cono convexo , incluso si C no es ni convexo ni cono .
En un espacio vectorial topológico
Si X es un espacio vectorial topológico sobre los números reales o complejos, entonces el cono dual de un subconjunto C ⊆ X es el siguiente conjunto de funcionales lineales continuos en X :
- , [1]
que es el polar del conjunto - C . [1] No importa lo que sea C ,será un cono convexo. Si C ⊆ {0} entonces.
En un espacio de Hilbert (cono dual interno)
Alternativamente, muchos autores definen el cono dual en el contexto de un espacio de Hilbert real (como R n equipado con el producto interno euclidiano) como lo que a veces se denomina cono dual interno .
Usando esta última definición para C * , tenemos que cuando C es un cono, se cumplen las siguientes propiedades: [2]
- Un vector y distinto de cero está en C * si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
- y es un normales en el origen de un hiperplano que soporta C .
- Y y C se encuentran en el mismo lado del que hiperplano de soporte.
- C * es cerrado y convexo.
- implica .
- Si C tiene un interior no vacío, entonces C * es puntiagudo , es decir, C * no contiene ninguna línea en su totalidad.
- Si C es un cono y el cierre de C es puntiagudo, entonces C * tiene un interior no vacío.
- C ** es el cierre del cono convexo más pequeño que contiene C (una consecuencia del teorema de separación del hiperplano )
Conos auto-duales
Un cono de C en un espacio vectorial X se dice que es auto-dual si X puede estar equipado con un producto interno ⟨⋅, ⋅⟩ de tal manera que el cono dual interna relativa a este producto interior es igual a C . [3] Aquellos autores que definen el cono dual como el cono dual interno en un espacio real de Hilbert generalmente dicen que un cono es auto-dual si es igual a su dual interno. Esto es ligeramente diferente a la definición anterior, que permite un cambio de producto interno. Por ejemplo, la definición anterior hace que un cono en R n con base elipsoidal sea auto-dual, porque el producto interno se puede cambiar para hacer la base esférica, y un cono con base esférica en R n es igual a su dual interno.
El orto no negativo de R n y el espacio de todas las matrices semidefinitas positivas son auto-duales, al igual que los conos con base elipsoidal (a menudo llamados "conos esféricos", "conos de Lorentz", o algunas veces "conos de helado"). También lo son todos los conos en R 3 cuya base es el casco convexo de un polígono regular con un número impar de vértices. Un ejemplo menos regular es el cono en R 3 cuya base es la "casa": el casco convexo de un cuadrado y un punto fuera del cuadrado formando un triángulo equilátero (de la altura adecuada) con uno de los lados del cuadrado.
Cono polar
Para un conjunto C en X , el cono polar de C es el conjunto [4]
Se puede ver que el cono polar es igual al negativo del cono dual, es decir, C o = - C * .
Para una cerrada cono convexo C en X , el cono polar es equivalente al conjunto polar para C . [5]
Ver también
Referencias
- ↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , págs. 215–222.
- ^ Boyd, Stephen P .; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (pdf) . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 51–53. ISBN 978-0-521-83378-3. Consultado el 15 de octubre de 2011 .
- ^ Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.
- ^ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. págs. 121-122. ISBN 978-0-691-01586-6.
- ^ Aliprantis, CD; Frontera, KC (2007). Análisis dimensional infinito: Guía del autoestopista (3 ed.). Saltador. pag. 215. doi : 10.1007 / 3-540-29587-9 . ISBN 978-3-540-32696-0.
Bibliografía
- Boltyanski, VG ; Martini, H .; Soltan, P. (1997). Excursiones en geometría combinatoria . Nueva York: Springer. ISBN 3-540-61341-2.
- Goh, CJ; Yang, XQ (2002). Dualidad en optimización y desigualdades variacionales . Londres; Nueva York: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27479-6.
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Ramm, AG (2000). Shivakumar, PN; Strauss, AV (eds.). Teoría del operador y sus aplicaciones . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1990-9.
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .