La secuencia de Gould es una secuencia de números enteros que lleva el nombre de Henry W. Gould que cuenta los números impares en cada fila del triángulo de Pascal . Consiste solo en potencias de dos y comienza: [1] [2]
- 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, ... (secuencia A001316 en la OEIS )
Por ejemplo, el sexto número en la secuencia es 4, porque hay cuatro números impares en la sexta fila del triángulo de Pascal (los cuatro números en negrita en la secuencia 1 , 5 , 10, 10, 5 , 1 ).
Interpretaciones adicionales
El n- ésimo valor en la secuencia (comenzando desde n = 0 ) da la potencia más alta de 2 que divide el coeficiente binomial central , y da el numerador de (expresado como una fracción en términos mínimos). [1]
Secuencia de Gould también da el número de células vivas en el n º generación de la Regla 90 autómata celular a partir de una sola célula en vivo. [1] [3] Tiene una forma de diente de sierra en crecimiento característica que puede usarse para reconocer procesos físicos que se comportan de manera similar a la Regla 90. [4]
Secuencias relacionadas
Los logaritmos binarios (exponentes en potencias de dos) de la secuencia de Gould forman ellos mismos una secuencia entera,
- 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, ... (secuencia A000120 en la OEIS )
en el que el n- ésimo valor da el número de bits distintos de cero en la representación binaria del número n , a veces escrito en notación matemática como. [1] [2] De manera equivalente, el n ésimo valor en la secuencia de Gould es
Tomando la secuencia de exponentes módulo dos se obtiene la secuencia Thue-Morse . [5]
Las sumas parciales de la secuencia de Gould,
- 0, 1, 3, 5, 9, 11, 15, 19, 27, 29, 33, 37, 45, 49, 57, 65, 81, 83, 87, 91, 99, 103, 111, ... ( secuencia A006046 en la OEIS )
cuente todos los números impares en las primeras n filas del triángulo de Pascal. Estos números crecen proporcionalmente a, pero con una constante de proporcionalidad que oscila entre 0.812556 ... y 1, periódicamente en función de log n . [6] [7]
Construcción recursiva y auto-similitud
Los primeros 2 valores i en la secuencia de Gould se pueden construir construyendo recursivamente los primeros 2 i - 1 valores y luego concatenando los dobles de los primeros 2 i - 1 valores. Por ejemplo, la concatenación de los primeros cuatro valores 1, 2, 2, 4 con sus dobles 2, 4, 4, 8 produce los primeros ocho valores. Debido a esta construcción de duplicación, la primera aparición de cada potencia de dos 2 i en esta secuencia está en la posición 2 i - 1 . [1]
La secuencia de Gould, la secuencia de sus exponentes y la secuencia Thue-Morse son todas auto-similares : tienen la propiedad de que la subsecuencia de valores en posiciones pares en la secuencia completa es igual a la secuencia original, una propiedad que también comparten con otras secuencias como la secuencia diatómica de Stern . [3] [8] [9] En la secuencia de Gould, los valores en posiciones impares son el doble de sus predecesores, mientras que en la secuencia de exponentes, los valores en posiciones impares son uno más sus predecesores.
Historia
La secuencia lleva el nombre de Henry W. Gould , quien la estudió a principios de la década de 1960. Sin embargo, el hecho de que estos números son potencias de dos, con el exponente del n- ésimo número igual al número de unos en la representación binaria de n , ya lo conocía JWL Glaisher en 1899. [10] [11]
Probar que los números en la secuencia de Gould son potencias de dos se planteó como un problema en el Concurso de Matemáticas William Lowell Putnam de 1956 . [12]
Referencias
- ^ a b c d e Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A001316 (secuencia de Gould)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ a b Pólya, George ; Tarjan, Robert E .; Woods, Donald R. (2009), Notes on Introductory Combinatorics , Progress in Computer Science and Applied Logic, 4 , Springer, p. 21, ISBN 9780817649531.
- ^ a b Wolfram, Stephen (1984), "Geometry of binomial coefficients", American Mathematical Monthly , 91 (9): 566–571, doi : 10.2307 / 2323743 , MR 0764797.
- ^ Claussen, Jens Christian; Nagler, Jan; Schuster, Heinz Georg (2004), "La señal de Sierpinski genera espectros 1 ∕ f α ", Physical Review E , 70 : 032101, arXiv : cond-mat / 0308277 , Bibcode : 2004PhRvE..70c2101C , doi : 10.1103 / PhysRevE.70.032101 .
- ^ Northshield, Sam (2010), "Sums across Pascal's triangle mod 2" , Congressus Numerantium , 200 : 35–52, MR 2597704 , archivado desde el original el 10 de septiembre de 2015 , consultado el 10 de septiembre de 2016.
- ^ Harborth, Heiko (1976), "Número de coeficientes binomiales impares", Proceedings of the American Mathematical Society , 62 (1): 19-22, doi : 10.2307 / 2041936 , MR 0429714.
- ^ Larcher, G. (1996), "Sobre el número de coeficientes binomiales impares", Acta Mathematica Hungarica , 71 (3): 183–203, doi : 10.1007 / BF00052108 , MR 1397551.
- ^ Gilleland, Michael, Some Self-Similar Integer Sequences , OEIS , consultado el 10 de septiembre de 2016.
- ^ Schroeder, Manfred (1996), "Fractals in Music", en Pickover, Clifford A. (ed.), Fractal Horizons , Nueva York: St. Martin's Press, págs. 207–223. Como lo cita Gilleland.
- ^ Granville, Andrew (1992), "El cerebro de Zaphod Beeblebrox y la quincuagésima novena fila del triángulo de Pascal", American Mathematical Monthly , 99 (4): 318–331, doi : 10.2307 / 2324898 , MR 1157222.
- ^ Glaisher, JWL (1899), "Sobre el residuo de un coeficiente del teorema binomial con respecto a un módulo primo" , The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 30 : 150-156. Ver en particular el párrafo final de la p. 156.
- ^ Gleason, Andrew M .; Greenwood, RE; Kelly, Leroy Milton , eds. (1980), El Concurso Matemático William Lowell Putnam: Problemas y Soluciones: 1938–1964 , Asociación Matemática de América, p. 46, ISBN 9780883854624.