En matemáticas el n º coeficiente binomial centro es la especial coeficiente binomial
Se llaman centrales porque aparecen exactamente en el medio de las filas pares en el triángulo de Pascal . Los primeros coeficientes binomiales centrales que comienzan en n = 0 son:
Propiedades
Los coeficientes binomiales centrales satisfacen la recurrencia
Desde encontramos
Junto con la serie binomial obtenemos la función generadora
y función generadora exponencial
donde I 0 es una función de Bessel modificada del primer tipo . [1]
El producto de Wallis se puede escribir en forma asintótica para el coeficiente binomial central:
Este último también se puede establecer fácilmente mediante la fórmula de Stirling . Por otro lado, también se puede utilizar como un medio para determinar la constante frente a la fórmula de Stirling, en comparación.
Límites simples que se derivan inmediatamente de están
Algunos límites mejores son
y, si se requiere más precisión,
- para todos [ cita requerida ]
El único coeficiente binomial central impar es 1. Más específicamente, el número de factores de 2 en es igual al número de unos en la representación binaria de n . [2] La mitad del coeficiente binomial central (por ) (secuencia A001700 en la OEIS ) se ve en el teorema de Wolstenholme .
Según la conjetura sin cuadrados de Erd , probada en 1996, ningún coeficiente binomial central con n > 4 está libre de cuadrados .
El coeficiente binomial central es igual a la suma de los cuadrados de los elementos en la fila n del triángulo de Pascal. [1]
Secuencias relacionadas
Los números catalanes estrechamente relacionados C n vienen dados por:
Una ligera generalización de los coeficientes binomiales centrales es tomarlos como , con números reales apropiados n , dondees la función gamma yes la función beta .
Las potencias de dos que dividen los coeficientes binomiales centrales están dadas por la secuencia de Gould , cuyo n- ésimo elemento es el número de enteros impares en la fila n del triángulo de Pascal.
Referencias
- ↑ a b Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A000984 (coeficientes binomiales centrales)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A000120" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- Koshy, Thomas (2008), números catalanes con aplicaciones , Oxford University Press, ISBN 978-0-19533-454-8.
enlaces externos
- Coeficiente binomial central en PlanetMath .
- Coeficiente binomial en PlanetMath .
- Triángulo de Pascal en PlanetMath .
- Números catalanes en PlanetMath .
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