Incrustación Plücker

En matemáticas , el mapa de Plücker incrusta el Grassmanniano , cuyos elementos son subespacios k - dimensionales de un espacio vectorial n -dimensional V , en un espacio proyectivo , realizándolo así como una variedad algebraica . Más precisamente, el mapa de Plücker se incrusta en la proyectivización del -ésimo poder exterior de . La imagen es algebraica y consiste en la intersección de un número de cuadrículas definidas por las relaciones de Plücker (ver más abajo). ${\ Displaystyle \ mathbf {Gr} (k, V)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Gr} (k, V)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {P} (\ Lambda ^ {k} V)}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle V}$

La incrustación de Plücker fue definida por primera vez por Julius Plücker en el caso como una forma de describir las líneas en el espacio tridimensional (que, como líneas proyectivas en el espacio proyectivo real, corresponden a subespacios bidimensionales de un espacio vectorial de cuatro dimensiones). La imagen de esa incrustación es la cuadrática de Klein en RP ⁵ . ${\ Displaystyle k = 2, n = 4}$

Hermann Grassmann generalizó la inclusión de Plücker en k y n arbitrarios . Las coordenadas homogéneas de la imagen del Grassmannian bajo la incrustación de Plücker, en relación con la base en el espacio exterior correspondiente a la base natural en (donde está el campo base ) se denominan coordenadas de Plücker . ${\ Displaystyle \ mathbf {Gr} (k, V)}$ ${\ Displaystyle \ Lambda ^ {k} V}$ ${\ Displaystyle V = K ^ {n}}$ ${\ Displaystyle K}$

Denotando por el espacio vectorial -dimensional sobre el campo , y por el Grassmanniano de los subespacios dimensionales de , la incrustación de Plücker es el mapa ι definido por ${\ Displaystyle V = K ^ {n}}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Gr} (k, V)}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle V}$