En matemáticas , las líneas de un 3-dimensional espacio proyectivo , S , pueden ser vistos como puntos de un espacio proyectivo 5-dimensional, T . En ese espacio de cinco, los puntos que representan cada línea en S se encuentran en un cuadrático , Q conocido como el cuadrático de Klein .
Si el subyacente espacio vectorial de S es el espacio vectorial 4-dimensional V , entonces T tiene como el espacio vectorial subyacente el 6-dimensional exterior cuadrado Λ 2 V de V . Las coordenadas de línea obtenidas de esta manera se conocen como coordenadas de Plücker .
Estas coordenadas de Plücker satisfacen la relación cuadrática
definiendo Q , donde
son las coordenadas de la línea abarcado por los dos vectores u y v .
El espacio tridimensional , S , se puede reconstruir de nuevo a partir del cuadrático, Q : los planos contenidos en Q caen en dos clases de equivalencia , donde los planos de la misma clase se encuentran en un punto y los planos de diferentes clases se encuentran en una línea o el conjunto vacío. Deja que estas clases sean y . La geometría de S se recupera de la siguiente manera:
- Los puntos de S son los aviones en C .
- Las líneas de S son los puntos de Q .
- Los planos de S son los planos de C '.
El hecho de que las geometrías de S y Q sean isomorfas puede explicarse por el isomorfismo de los diagramas de Dynkin A 3 y D 3 .
Referencias
- Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Geometría proyectiva: de los cimientos a las aplicaciones , página 169, Cambridge University Press ISBN 978-0521482776
- Arthur Cayley (1873) "Sobre las superlíneas de una superficie cuádruple en un espacio de cinco dimensiones", Collected Mathematical Papers 9: 79–83.
- Felix Klein (1870) "Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades", Mathematische Annalen 2: 198
- Oswald Veblen y John Wesley Young (1910) Geometría proyectiva , volumen 1, Interpretación de coordenadas de líneas como coordenadas de puntos en S 5 , página 331, Ginn and Company .
- Ward, Richard Samuel; Wells, Raymond O'Neil, Jr. (1991), Geometría de Twistor y teoría de campo , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-42268-0.