El autómata celular de Greenberg-Hastings (abrev. Modelo GH ) es un autómata celular bidimensional de tres estados (abrev. CA ) que lleva el nombre de James M. Greenberg y Stuart Hastings, [1] diseñado para modelar medios excitables , [2] Una ventaja de un El modelo CA es la facilidad de cálculo. El modelo se puede entender bastante bien usando cálculos simples "manuales", sin la participación de una computadora. [2] Otra ventaja es que, al menos en este caso, se puede probar un teorema que caracteriza aquellas condiciones iniciales que conducen a un comportamiento repetitivo. [3]
Descripción informal
Como en un autómata celular bidimensional típico , [1] considere una cuadrícula rectangular, o un patrón de tablero de ajedrez, de "celdas". Puede ser finito o infinito en extensión. Cada celda tiene un conjunto de "vecinos". En el caso más simple, cada celda tiene cuatro vecinos, los cuales son las celdas directamente arriba o abajo o a la izquierda o derecha de la celda dada. [2]
Así: las b son todas las vecinas de la a. La a es uno de los vecinos de cada una de las b.
B bab B
En cada "tiempo" t = 0, 1, 2, 3, ...., a cada celda se le asigna uno de los tres "estados", típicamente llamados "en reposo" (o "inactivo"; ver medio excitable ), "excitado" , o "refractario". [2] La asignación de estados para todas las celdas es arbitraria para t = 0, y luego, en momentos posteriores, el estado de cada celda se determina mediante las siguientes reglas. [2]
1. Si una celda está en el estado excitado en el tiempo t, entonces está en el estado refractario en el tiempo t + 1.
2. Si una célula está en estado refractario en el tiempo t, entonces está en estado de reposo en el tiempo t + 1.
3. Si una celda dada está en el estado de reposo en el tiempo t y al menos uno de sus vecinos está en el estado excitado en el tiempo t, entonces la celda dada está en el estado excitado en el tiempo t + 1, de lo contrario (ningún vecino es excitado en el tiempo t) permanece en estado de reposo en el tiempo t + 1.
De esta manera, toda la cuadrícula de celdas avanza desde sus estados iniciales en t = 0 a sus estados en t = 1, luego a sus estados en t = 2,3,4, etc., produciendo un patrón de celdas en los diversos estados. para cada vez.
Vea la primera animación en la reacción de Belousov-Zhabotinsky para ver un ejemplo sorprendente de comportamiento que puede exhibir este modelo. Los tres estados están indicados por diferentes colores.
Descripción matemática
Para describir el modelo GH de manera más matemática, considere el caso más simple de una cuadrícula de celdas cuadradas . En cada momento la célula tiene un estado El tipo de vecindario no es importante, siempre que cada celda tenga algunos vecinos. En una cuadrícula cuadrada (a diferencia de hexagonal), los vecindarios de cuatro u ocho celdas funcionan bien. La regla de evolución es la siguiente: Si luego . Si luego Si y para alguna celda vecina luego . De lo contrario,[1] [2]
Relación con un modelo de Wiener y Rosenblueth
Si bien el modelo GH a menudo se ha comparado con el modelo innovador de Wiener y Rosenblueth [4] desarrollado anteriormente con el mismo propósito, la analogía es incorrecta porque este último no es una CA. Véase, por ejemplo, [5] en el que se afirma que "La organización de las células musculares, la contracción del músculo, la dependencia de la actividad del medio de la actividad de sus elementos componentes, problemas de memoria, fiabilidad y movilidad fueron formulado por Wiener en forma de definiciones y teoremas para un medio excitable continuo invariante en el umbral de tres fases ". Sin embargo, incluso esta afirmación es engañosa. Al leer el artículo original [4] con atención, se puede ver que ni el tiempo, el medio ni el estado son discretos. Esto es inmediatamente obvio en lo que respecta al tiempo y al medio. Sin embargo, Wiener y Rosenblueth dicen que "hay tres condiciones en las que puede existir una región determinada de la fibra". Los denominan estados "activo", "refractario" y "en reposo". Sin embargo, en el siguiente párrafo refinan esto identificando el estado de reposo con el número 1, el estado activo con el número 0 y el estado refractario con el intervalo abierto (0,1) en la línea real. El número asignado a un punto dado en un momento dado se llama su "número de época" en ese momento. Por tanto, el "espacio de estado" es el intervalo [0,1]. Y en el siguiente párrafo encontramos "... detrás de cada frente de onda que se mueve libremente habrá una banda de ancho fijo dentro de la cual se está llevando a cabo el proceso de recuperación". Por lo tanto, una onda consta de un "frente", una curva suave de puntos con número de época 0 que se mueve en el plano con rapidez constante, seguida de una región refractaria de puntos con número de época en (0,1), de ancho constante (según sobre la velocidad), y dejando atrás una región de reposo de puntos con la época número 1. Esto está lejos de ser un autómata celular, y se llama más correctamente un modelo "geométrico".
Más adelante en [5] se afirma que
"Los modelos de autómatas de medios excitables se investigaron en [9] y [10]. Estos modelos son un análogo discreto del medio de Wiener " . (Los modelos en sus citas "[9]" y "[10]" son diferentes de GH. )
Muchos escritores han llamado al modelo de Weiner-Rosenblueth un autómata celular. El artículo más antiguo encontrado por Google Scholar con esta designación claramente establecido es. [6] Sin embargo, como se mencionó anteriormente, la continuidad del medio de Wiener-Rosenblueth no ha permitido hasta ahora un teorema sobre la persistencia de patrones tan preciso como el de GH que se describe a continuación. Por otro lado, en [4] se enuncian varios teoremas que son similares a los demostrados en [3], aunque las demostraciones dadas para los teoremas en [4] son menos claras que las de [3] debido a la naturaleza de los respectivos modelos.
Véase también [7] para un estudio informático citado a menudo basado en un modelo que es similar al de Wiener y Rosenblueth.
Generando una espiral
Se observa un comportamiento interesante, para un vecindario de cuatro celdas y una cuadrícula cuadrada, cuando la condición inicial consiste en una media línea de celdas excitadas (1) que se van al infinito y por debajo de esta mitad de la línea una media línea de celdas refractarias (2). El resto de las células están en reposo cuando t = 0. [2]
Como esto:
.................................................. ..................... 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ........ 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ........ 000000000000000000011111111111111111111111111111111111111 ........ 00000000000000000002222222222222222222222222222222222222222 ........ 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ........ 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ...................................................... .................
La espiral que se produce se puede ver en. [2] Esta espiral se puede ver fácilmente siguiendo el patrón hacia adelante durante algunas iteraciones "a mano". No se necesita computadora.
Un teorema
Como se indicó en, [2] y se demostró en [3] (que también consideró modelos de n estados), si el conjunto de unos iniciales es finito, entonces cada celda individual oscila para siempre a través del ciclo 0,1,2,0 si y solo si al principio hay al menos un cuadrado de cuatro celdas vecinas con uno de los siguientes patrones:
1 2 2 0 0 1 0 0 1 1 2 2
o algún reflejo o rotación de uno de estos. Estos patrones no pueden ser eliminados por su entorno. Es la parte "sólo si" de este resultado la más interesante. Si ninguno de estos patrones está presente en t = 0, entonces, en cualquier región acotada, el patrón finalmente se establece en todos los ceros. [2] La herramienta clave en la demostración en [3] es un "número de bobinado" que se muestra invariante para este modelo.
Una consecuencia fácil del teorema establecido anteriormente es que si no hay células "refractarias" inicialmente, el patrón se extinguirá en cualquier región delimitada (ya sea que la cuadrícula total sea finita o infinita en extensión). Esta propiedad de un medio excitable se encontró anteriormente, en el artículo de Wiener y Rosenblueth, [4] y no se mantiene si hay "agujeros" en la región.
Notas
- ^ a b c G. de Vries ; T. Hillen; M. Lewis; J. Miller; B. Schonfisch (2006). "6". Un curso de biología matemática: modelado cuantitativo con métodos matemáticos y computacionales . SIAM.
- ^ a b c d e f g h yo j JM Greenberg; SP Hastings (1978). "Patrones espaciales para modelos discretos de difusión en medios excitables". Revista SIAM de Matemática Aplicada . 54 (3): 515–523. doi : 10.1137 / 0134040 .
- ^ a b c d e C. Greene, James; JM Greenberg, Curtis; SP Hastings, Stuart (1980). "Un problema combinatorio que surge en el estudio de las ecuaciones de reacción-difusión". SIAM J. Algebr. Métodos discretos . 1 (1): 34–42. doi : 10.1137 / 0601006 .
- ^ a b c d e N. Wiener; A. Rosenblueth (1946). "La formulación matemática del problema de conducción de elementos excitables conectados, específicamente en el músculo cardíaco". Arco. Inst. Cardiol. Mex . 16 (3): 205–265. PMID 20245817 .
- ^ a b Letichevskii, AA; Reshodko, LV (1974). "Teoría de N. Wiener de la actividad de los medios excitables". Cibernética . 8 : 856–864. doi : 10.1007 / bf01068458 .
- ^ M. Gerhardt; H. Schuster; J. Tyson (1990). "Un modelo de autómata celular de medios excitables: II. Curvatura, dispersión, ondas rotativas y ondas serpenteantes". Physica D . 46 : 392–415. doi : 10.1016 / 0167-2789 (90) 90101-T .
- ^ GK Moe; WC Rheinboldt; JA Abildskov (1964). "Un modelo informático de fibrilación auricular". Soy. Heart J . 67 : 200–220. doi : 10.1016 / 0002-8703 (64) 90371-0 .
Referencias
- R. Fisch, J. Gravner, D. Griffeath, Metaestabilidad en el modelo de Greenberg-Hastings, The Annals of Applied Probability , vol. 3 (1993), 935–967.
- R. Durrett y J. Steif, Algunos resultados rigurosos para el modelo de Greenberg-Hastings, Journal of Theoretical Probability vol 4 (1991), 669-690.
- S. Wolfram , Un nuevo tipo de ciencia , 2003, pág. 1013.
enlaces externos
- http://psoup.math.wisc.edu/java/jgh.html
- http://demonstrations.wolfram.com/GreenbergHastingsModel/