Producto Gromov

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En matemáticas , el producto de Gromov es un concepto en la teoría de espacios métricos que lleva el nombre del matemático Mikhail Gromov . El producto de Gromov también se puede utilizar para definir espacios métricos hiperbólicos δ en el sentido de Gromov.

Sea ( X ,  d ) un espacio métrico y sea x , y , z  ∈  X. Entonces el producto de Gromov de y y z en x , denotado ( y ,  z ) _x , se define por

Dados tres puntos x , y , z en el espacio métrico X , por la desigualdad del triángulo existen números no negativos a , b , c tales que . Entonces son los productos Gromov . En el caso de que los puntos x , y , z sean los nodos externos de un trípode , estos productos de Gromov son las longitudes de los bordes.${\displaystyle d(x,y)=a+b,\ d(x,z)=a+c,\ d(y,z)=b+c}$${\displaystyle (y,z)_{x}=a,\ (x,z)_{y}=b,\ (x,y)_{z}=c}$

En el hiperbólica, plano esférico o euclidiana, el producto Gromov ( A ,  B ) _C es igual a la distancia p entre C y el punto en la circunferencia inscrita del triángulo geodésico ABC toca el borde CB o CA . De hecho, del diagrama c = ( a - p ) + ( b - p ) , de modo que p = ( a + b - c ) / 2 = ( A , B ) _C. Por lo tanto, para cualquier espacio métrico, se obtiene una interpretación geométrica de ( A ,  B ) _C incrustando isométricamente (A, B, C) en el plano euclidiano. ^[1]

Considere el espacio hiperbólico H ⁿ . Fijar un punto base p y dejar y ser dos puntos distintos en el infinito. Entonces el limite ${\displaystyle x_{\infty }}$${\displaystyle y_{\infty }}$

existe y es finito, por lo que puede considerarse como un producto de Gromov generalizado. En realidad, está dado por la fórmula

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