Desigualdad de Grothendieck

---

En matemáticas , la desigualdad de Grothendieck establece que existe una constante universal con la siguiente propiedad. Si M _ij es una matriz n  ×  n ( real o compleja ) con${\displaystyle K_{G}}$

para todos los vectores S _i , T _j en la bola unitaria B ( H ) de un espacio de Hilbert (real o complejo) H , siendo la constante independiente de n . Para un espacio de Hilbert fijo de dimensión d , la constante más pequeña que satisface esta propiedad para todas las matrices n  ×  n se denomina constante de Grothendieck y se denota como . De hecho, existen dos constantes de Grothendieck, y , según se trabaje con números reales o complejos, respectivamente. ^[1]${\displaystyle K_{G}}$${\ Displaystyle K_ {G} (d)}$${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(d)}$${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {C} }(d)}$

La desigualdad de Grothendieck y las constantes de Grothendieck llevan el nombre de Alexander Grothendieck , quien demostró la existencia de las constantes en un artículo publicado en 1953. ^[2]

Sea una matriz. Luego define un operador lineal entre los espacios normados y para . La -norma de es la cantidad${\ estilo de visualización A = (a_ {ij})}$${\ estilo de visualización m \ veces n}$${\ estilo de visualización A}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},\|\cdot \|_{p})}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|_{q})}$${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty}$${\ estilo de visualización (p \ a q)}$${\ estilo de visualización A}$

${\displaystyle \|A\|_{p\to q}=\max _{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{p}=1}\|Ax\| _ {q}.}$

---